Замечательные кривые

ВВЕДЕНИЕ

Понятие функциональной зависимости одно из важнейших понятий современной математики при исследовании явлений и процессов природы, решении технических задач и т.д.
Среди различных способов представления функций: аналитического, табличного, словесного или графического наиболее распространенное значение приобрел графический способ – иногда он составляет единственно возможный способ представления функции.
Понятие линии определилось в сознании человека в доисторические времена. Траектория брошенного камня, струя воды, лучи света, очертания цветов и листьев растений, извилистая линия берега реки и моря и другие явления природы привлекали внимание наших предков и, наблюдаемые многократно, послужили основой для постепенного установления понятия линии.
Исторические памятники глубокой древности показывают, что у всех народов в известной степени их развития имелось понятие окружности, не говоря уже о прямых линиях. Применялись примитивные инструменты для построения этих линий и были попытки измерять площади, ограничиваемые прямыми и окружностью. Но только с возникновением математики как науки стало развиваться учение о линии, достигшей в трудах греческих математиков высокого совершенства.
1637 год – одна из великих дат в истории математики – год появления книги Рене Декарта «Геометрия», в которой были изложены основы метода координат. Открытие этого способа для исследования кривых было фактом первостепенного значения.
В основе классификации кривых лежит природа их уравнений – разделение уравнений на алгебраические и трансцендентные. Однако обратим внимание, что природа уравнения кривой зависит не только от природы самой кривой, но и от системы координат, к которой отнесена кривая. Та самая кривая в одной системе координат может выражаться алгебраическим уравнением, а в другой – трансцендентным. Однако иногда достаточно изменить положение системы и алгебраической уравнения кривой становится трансцендентной.
Алгебраические кривые в свою очередь делят на кривые разных порядков. Порядок кривой определяется самой высокой степенью ее уравнения.
Алгебраической кривой -го порядка называется кривая, уравнение которой после освобождения его от дробей и радикалов записывается в декартовой системе координат в виде

Приведем некоторые общие теоремы об алгебраических кривых.
1. Порядок алгебраической кривой не зависит от положения этой кривой по отношению к системе координат.
2. Две несводимые алгебраические кривые, одна из которых имеет порядок , а вторая – , пересекаются не более чем в точках.
3. Алгебраическая кривая -го порядка определяется точками.
4. Каждая кривая -го порядка, проходящая через точек, проходит также через точек плоскости, положение которых зависит от положения заданных точек .
5. Если на каждой прямой, проходящей через данную точку , найти точку так, чтобы , где – точки пересечения прямой с кривой -го порядка, то геометрическое место точек Р представляет собой прямую линию.

1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ II ПОРЯДКА

Алгебраической кривой второго порядка кривая , уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид:

(1)
Пусть в ПДСК задано уравнение второго порядка вида (1). Тогда существует декартовая система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих 9 канонических видов:
, , ,
, ,
, ,

В соответствии с этим существует семь классов линий второго порядка:
1) эллипсы
3) точки (пары воображаемых пересекающихся прямых)
4) гиперболы
5) пары действительных пересекающихся прямых
6) параболы
7) пара параллельных прямых
9) прямые

Эллипс. Кривая второго порядка, которая в некоторой ПДСК задается уравнением
, ,
(2)

при условии называется эллипсом, уравнение (2) – каноническим уравнением эллипса, а соответствующая ПДСК – канонической.
Замечания. Если , то (2) задает круг.
1.1) Знак совпадает со знаками и .

уравнение воображаемого эллипса.

Уравнение пары мнимых прямых, пересекающихся в точке .
1) Пусть и разных знаков.
, , ,
(3)


Гипербола. Кривая второго порядка, которая в некой ПДСК задается уравнением вида называется гиперболой, уравнение (3) – каноническим уравнением гиперболы, а соответствующая ПДСК – канонической.

пара пересекающихся действительных прямых,


Парабола. Кривая второго порядка, которая в некоторой ПДСК задается уравнением вида

(4)
называется параболой, уравнение (4) - каноническим уравнением параболы, а соответствующая система координат – канонической.
Свойства:
1. Парабола имеет ось симметрии, которая называется осью параболы. Ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе.
2. Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в ее фокусе. И наоборот, свет от находящегося в фокусе источника отображается параболой в пучок параллельных ее оси лучей.
3. Для параболы фокус находится в точке (0,25; 0).
4. Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
5. Парабола является антиподерой прямой.
6. Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
7. При вращении параболы вокруг оси симметрии выходит эллиптический параболоид.
8. Эволютой параболы является полукубическая парабола.



2. КРИВЫЕ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Перед рассмотрением кривых 3-го порядка приведем следующие три утверждения:
1. Если кривая 3-го порядка имеет три точки перегиба, они лежат на одной прямой.