Иррациональные неравенства в школьной программе

Глава 1. Место иррациональных неравенств в курсе математики школьной программы
1.1.Понятие иррационального неравенства

Иррациональными числами называются бесконечные непериодические десятичные дроби. Введение иррациональных чисел стало необходимым вследствие того, что решение новых математических задач требовало более широких понятий, чем действительные или вещественные, целые, натуральные и рациональные числа. Слово «ratio» переводится с латинского языка как «дробь», «отношение», а приставка «ир-» придает понятию противоположное значение. Поэтому название множества иррациональных чисел свидетельствует о том, что их нельзя соотносить с целыми или дробными числами.
Исторически принято считать, что иррациональные числа возникли в VII веке до н. э. Манава, известный математик из Индии, полагал, что квадратный корень из числа 61 и 2 не может быть извлечен точным образом. Пифагорейская школа привела первое доказательство существования иррациональных чисел, выявленных при обнаружении сторон пентаграммы.
Период средневековья ознаменовался возвышением иррационального числа до статуса «алгебраического объекта».
История множества иррациональных чисел в XVII веке связана с именем великого математика Леонарда Эйлера, внесшего внушительный вклад в теоретическое обоснование множества иррациональных чисел. В XIX веке научное математическое сообщество разделило иррациональные числа на два вида: алгебраические и трансцендентные. Оба вида иррациональных чисел досконально изучались математиками.
Неоценимый вклад в развитие теории иррациональных чисел внес немецкий математик Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс, которого называют «отцом современного анализа». Именно ему принадлежит обоснование и доказательство свойств и методов применения иррациональных чисел. На сегодняшний день иррациональные числа начинают изучаться в среднем звене общеобразовательной школы, и входят в состав выражений, уравнений и неравенств.
Неравенство – это соотношение между числами или величинами, которое указывает, какие из них больше других.
Областью определения или областью допустимых значений (ОДЗ) неравенства f(x)>g(x) называется множество таких значений x, при которых и функция f(x) и g(x) определены. Другими словами, ОДЗ неравенства f(x)>g(x) – это пересечение областей определения функции f(x) и ОДЗ функции g(x). Частным решением неравенства f(x)>g(x) называется любое удовлетворяющее ему значение переменной x. Решением неравенства называется множество всех его частных решений.
Неравенства школьного курса можно классифицировать следующим образом:
1) рациональные (алгебраические) неравенства и системы.
2) иррациональные и трансцендентные неравенства и системы.
В состав последней группы входят иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства.
Неравенство является иррациональным, если содержит неизвестное значение под знаком корня или в показателе степени.
Школьный курс математики располагает несколькими методами решения иррациональных неравенств. Рассмотрим их подробнее.
1. Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же степень.
Пример 1. Решить неравенство
Решение. Так как и то исходное неравенство равносильно: .

Решаем первую систему:

Решаем вторую систему:
Отметим, что при х>6 неравенство выполнено, поэтому х>6.
Ответ:
Пример 2: решить неравенство .
Решение. Запишем равносильную систему неравенств:

Следовательно, неравенство решений не имеет.
Ответ: решений нет.
Пример 3. Решить неравенство:
Решение. Возводим обе части неравенства в куб:
.

Переносим вправо и почленно делим выражение на 6.

Ответ: (0; ).
2. Метод интервалов.
Метод интервалов является самым универсальным методом решения неравенств, поскольку подходит для решения практически всех их видов. Метод интервалов представляет собой алгоритм действий:
1) находим ООФ;
2) отмечаем в этой области нули функции, разбивающие ООФ на промежутки, внутри каждого из которых функция определена, непрерывна и сохраняет знак;
3) определяем знак функции на каждом промежутке.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Решить неравенство
Решение. Запишем равносильную систему неравенств:

Ответ: (4;6].
Пример 2. Решить неравенство:
Решение: Запишем равносильную систему неравенств:

Ответ:
Пример 3. Решить неравенство
Решение. Запишем равносильную совокупность систем неравенств:

Ответ: .
3. Сведение к равносильной системе.
Данный метод решения иррациональных неравенств является основным. Самые простейшие иррациональные выглядят следующим образом:
1)
2)
3)
Иррациональное неравенство или можно представить в виде равносильной системы:
(1)
Первое неравенство в системе (1) есть результат возведения исходного неравенства в степень. Второе неравенство есть условие существования корня в исходном неравенстве. Третье неравенство системы выражает условие, при котором это неравенство можно возводить в квадрат.
Иррациональное неравенство или равно совокупности двух систем неравенств:
(2)
Обратимся к первой системе схемы (2). Первое неравенство этой системы является результатом возведения исходного неравенства в квадрат, второе – условие, при котором это можно делать. Вторая система схемы (2) соответствует случаю, когда правая часть отрицательна, и возводить в квадрат нельзя. Но в этом и нет необходимости: левая часть исходного неравенства – арифметический корень – неотрицательна при всех x, при которых она определена. Поэтому исходное неравенство выполняется при всех x, при которых существует левая часть. Первое неравенство второй системы и есть условие существования левой части.
Иррациональное неравенство или равносильно системе неравенств:
(3)
Поскольку обе части исходного неравенства неотрицательны при всех x, при которых они определены, поэтому его можно возвести в квадрат. Первое неравенство в системе (3) является результатом возведения исходного неравенства в степень. Второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, понятно, что неравенство A(x)≥ 0 выполняется при этом автоматически. Схемы (1)–(3) – наш основной инструмент при решении иррациональных неравенств, к ним сводится решение практически любой задачи.
1.2. Значимость иррациональных неравенств в итоговой проверке знаний учащихся

Исследуем описание темы «Иррациональные неравенства» в различных школьных учебниках.
Описывая методику решения иррациональных неравенств в школе каждый педагог сталкивается с проблемой её изложения. В качестве пропедевтического курса к теме «Иррациональные неравенства» учащимся объясняется понятие арифметического корня и его свойств. Каждый из авторов школьных учебников подходит к рассмотрению данной темы с собственной точки зрения. Сравнительный анализ темы «Иррациональные неравенства» в школьных учебниках приводится в таблице 1.
Г.В. Дорофеев в учебнике «Алгебра 8 класс» вводит понятие квадратного корня, также его свойства.
С.М. Никольский разбивает понятие арифметического квадратного корня и корня n-ой степени. В учебнике «Алгебра 8 класс» рассматривает арифметический квадратный корень и его свойства. А в учебнике «Алгебра 9 класс» вводит понятие корня степени n, арифметического корня n-ой степени и рассматриваются свойства арифметического корня n-ой степени.
В учебнике А.Г. Мордкович «Алгебра 8 класс» рассматривается понятие квадратного корня и его свойства.
Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И. «Алгебра», учебник для 7-9 класс, «Алгебра и начала анализа», учебник для 10-11 классов. Изучение степеней в данном учебнике рассматривается в главе 3 «Свойства степени с натуральным показателем». Впервые с темой степень учащиеся встречаются в 6 классе при работе возведения чисел в степень. В 7 классе уже дается представление о нахождении значений степени, также рассматриваются свойства степени с натуральным показателем.
В учебнике для 7 класса более значимым становится прикладной аспект обучения, усиливается внимание к вопросам применения математики в реальной жизни.
В 8 классе впервые вводится тема «Арифметический квадратный корень», дается определение квадратного корня и его свойства, вводится понятие иррационального числа.
В 9 классе в главе 2 «Степень с рациональным показателем» вводится тема «Степень с целым показателем». Учащиеся уже знакомы со степенями и у них есть некоторый опыт преобразований выражений, содержащих степени, на основе определения. Сформированные умения могут найти применение при выполнении заданий на сокращение дробей, числители и знаменатели которых – произведения, содержащие степени.
Также рассматривается тема «Арифметический корень натуральной степени и его свойства», вводятся основные свойства, которые доказываются с помощью определения арифметического корня и рассматриваются примеры.
В учебнике 10-11 класса в главе 2 рассматривается тема «Иррациональные уравнения и неравенства». Тема «Иррациональные уравнения» вводится в параграфе 9, дается определение иррациональные уравнения, следствие из определения и в конце параграфа приводятся примеры для закрепления изученной темы.
Автор рассматривает тему «Иррациональные неравенства» в параграфе 10 и начинает с задач, в ходе которых вводится определение иррациональных неравенств и в конце параграфа даются примеры. После каждого параграфа приведен ряд упражнения, которые имеют разный уровень сложности: обязательные задачи, дополнительные более сложные задачи и трудные задачи. Также в конце главы выделены отдельным пунктом «Упражнения к главе II».
С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин «Алгебра» 7 – 11 кл.
Изучение степеней в данном учебнике начинается с параграфа 8 «Степень с целым показателем». Данный параграф начинается с понятия степени с целым показателем, и рассматриваются основные свойства. Подчеркивается значимость осознанного изучения чисел и вычислений, но в то же время уделяется достаточное внимание алгебраическому и геометрическому материалу, который расположен так, что не мешает развитию арифметических идей.
Принципиальная особенность учебника – его ориентированность на формирование вычислительных навыков и развитие мышления учащихся.
В 8 классе также рассматриваются корни в параграфе 3 «Квадратные корни». С.М. Никольский вводит понятие квадратного корня, арифметический квадратный корень и свойства арифметических квадратных корней. Пункт «приближенное вычисление квадратных корней» отмечен звездочкой, то сеть как дополнительный материал повышенной сложности.
В конце каждой главы имеется дополнительный материал, в нем учащимся предложено ознакомление с историческими сведениями, а также «Задания для повторения», которые содержат в себе большое количество текстовых задач и вычислительных упражнений.
В 9 классе в главе 2 «Степень числа» автор вводит понятие корня n-ой степени и его свойства. Параграф начинается с понятия корень степени n из числа а, учащиеся уже знакомы с понятием квадратного и кубического корня, в связи с этим им легче дается материал, в конце приводятся примеры на закрепление изученной темы
В 10 классе в 1 главе «Корни, степени, логарифмы» в 3 параграфе «Корень степени n» вводит понятие корня n-ой степени и его свойства, понятие арифметического корня и корень степени n из натурального числа. В 11 классе в главе 2 «Уравнения, неравенства, системы» в 10 параграфе «Равносильность уравнения на множествах» в пункте 10.2 возведения уравнения в четную степень рассматриваются иррациональные уравнения и примеры с пояснением решения данных уравнений. В конце каждого пункта имеются упражнения, которые разделены на задания для устной работы, задания обязательные (не обязательные) для общеобразовательных классов и задания повышенной трудности.
Учебник дает учащимся хорошую подготовку по алгебре в объёме традиционной общеобразовательной программы или программы для классов с углублённым изучением математики.
А.Г. Мордкович, П.В. Семенов «Алгебра» 7-9 класс, «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс (профильный уровень). Данное учебное пособие состоит из двух частей: учебника и задачника. Рассмотрим учебник 7 класса.
В первой части данного учебного пособия материал, посвящённый степеням, изложен в главе 4 «Степени с натуральным показателем и ее свойства». Глава начинается с понятия степень с натуральным показателем, затем идет знакомство учащихся с основными свойствами степени с натуральным показателем. При изучении данной темы формулируются и доказываются три теоремы, причем ряд теорем предложен в учебнике в виде общей закономерности.
Большая часть математических утверждений проходит в своем становлении три этапа.
1) На первом этапе ученик в ряде конкретных случаев подмечает одну и ту же закономерность.
2) На втором этапе он пытается сформулировать подмеченную закономерность в общем виде, т.е. предполагает, что эта закономерность действует не только в рассмотренных случаях, но и во всех других аналогичных случаях.
3) На третьем этапе он пытается доказать, что закономерность, сформулированная в общем виде, на самом деле верна. При доказательстве можно ссылаться только на уже известные факты.
В конце главы А.Г. Мордкович приводит основные результаты, т.е. определения, свойства, теоремы, формулы, правила, которые изучили в данной главе. Все записано без комментариев, поскольку комментарий были обоснованы в указанных параграфах.
В 8 классе А.Г. Мордкович рассматривает понятие квадратного корня в главе 2 «Функция. Свойства квадратного корня» в параграфе «Понятие квадратного корня из неотрицательного числа». Впервые вводят новое понятие, а затем изучают свойства этого понятия.
В 10-11 классе А.Г. Мордкович впервые вводит тему «Иррациональные уравнения и неравенства». Рассматривает понятие иррациональные уравнения и неравенства, приводит примеры и делает проверку, поскольку при возведении обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, когда из-за неравносильности преобразования могут появиться посторонние корни, а потому обязательна проверка всех найденных корней.

Анализ учебников показал, что для выполнения простейших заданий, содержащих иррациональные уравнения и неравенства, необходимо привлечение дополнительных источников по теме.
Во всех трех учебниках недостаточно изложен теоретический материал, но в достаточном количестве имеются примеры с решением и доказательства свойств. Но при подготовке к экзамену в форме ЕГЭ необходимо уделить особое внимание заданиям повышенной сложности, которые в большей степени встречаются в ЕГЭ по математике, и которые мало встречаются или почти не встречаются в данных учебниках.
В учебнике С.М. Никольского тема «Иррациональные уравнения и неравенства» изучается в 11 классе. Материал представлен в логической последовательности и достаточно в сжатой форме, но для закрепления данной темы у автора приведено недостаточно практических заданий.
У Ш.А. Алимова иррациональные уравнения и неравенства изучаются в 11 классе. Практические задания на закрепление темы разделены по трем уровням сложности: обязательные задачи, дополнительные более сложные задачи и трудные задачи. Для более успешного усвоения материала в конце главы включены упражнения для самопроверки.
А.Г. Мордкович также как и другие авторы начинает изучение иррациональных уравнений и неравенств в 11 классе. В данном учебнике представлено огромное разнообразие решенных примеров, многие из которых встречаются в экзамене в форме ЕГЭ. А также в задачнике к данному учебнику представлен широкий спектр упражнений, который разделен на 3 уровня сложности.
На ОГЭ ребятам предлагается 20 вопросов, к каждому из которых надо дать краткий ответ. Задания разделены на два модуля: «Алгебра» и «Геометрия». Каждый правильный ответ оценивается в 1 балл, независимо от сложности и тематики задания. Больше всего заданий в ОГЭ части С на упрощение иррациональных выражений. В ходе данной работы нами проанализированы типовые варианты ОГЭ по математике за прошлые года на предмет иррациональных неравенств. Приходим к выводу, что в типовых вариантах ОГЭ представляются только неравенства, в состав которых входят иррациональные числа, собственно иррациональные неравенства отсутствуют.
Строение и содержание ЕГЭ по математике определяет необходимость адаптации выпускников школ к новым требованиям, прежде всего к изменению сроков, формы и методики оценивания качества знаний, многообразию типов экзаменационных заданий, мобильности их выполнения. ЕГЭ является обязательным для учащихся экзаменом, проводимым в одно и то же местное время во всей стране. Каждому экзамену по определённому предмету выделяется по одному дню. ЕГЭ сдают школьники и студенты для дальнейшего поступления в высшее учебное заведение.
ЕГЭ должен не только определять уровень подготовки школьных выпускников, но и задать вектор развития методики преподавания математики, по крайней мере, на будущий учебный год. Система ЕГЭ предназначена для проведения открытой, объективной и независимой процедуры оценивания учебных достижений школьников.
Основной задачей обучения математике в школе является обеспечение овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования. Учащиеся должны иметь возможность получения реальной подготовки к выпускному экзамену, располагать набором знаний и умений, необходимых для последующего обучения. Именно поэтому процесс преподавания должен быть акцентирован именно на разделы, представленные в тестах ЕГЭ.
Согласно Концепции развития математического образования в Российской Федерации ЕГЭ по математике в 2014-2015 учебном году был разделен на два уровня: базовый и профильный. Выпускники могли выбрать либо оба уровня одновременно, либо только один из уровней. Для получения аттестата о среднем общем образовании, а также для поступления в образовательную организацию высшего образования, где в перечне вступительных испытаний отсутствует учебный предмет «Математика», выпускнику достаточно сдать экзамен по математике на базовом уровне. Для поступления в образовательную организацию высшего образования, в которой математика включена в перечень вступительных испытаний, необходимо сдать экзамен по учебному предмету «Математика» на профильном уровне. Проанализируем варианты ЕГЭ прошлых лет на предмет наличия в них заданий, требующих решения иррациональных неравенств.
Анализ материалов ЕГЭ за период с 2011 по 2016 годы показал, что задания на тему «Иррациональные уравнения и неравенства» встречаются в части В и С, а именно это задания:
В 2011 году: B3, C5;
В 2012 году: B5, C3;
В 2013 году: B5, B7, C3, C5;
В 2014 году: B5, B7, C3;
В 2015 году:  часть 1: 6;  часть 2: 17, 20;
В 2016 году:  базовый уровень: 2,7;  профильный уровень: 5, 15 ,18.
В 2017 году:  базовый уровень: 2,7;  профильный уровень: 5, 15 ,18.
Задания части В составлены на основе курсов математики 5 – 6 классов, алгебры и геометрии 7 – 11 классов. Так называемая В-часть обеспечивает необходимую полноту проверки овладения материалом указанных курсов на базовом уровне сложности.
Задания части С составляются согласно материалу курсов алгебры и начал анализа 7–11 классов и геометрии 7–11 классов. Эти задания обеспечивают достаточную полноту проверки овладения материалом указанных курсов, как на повышенном, так и на высоком уровне сложности.
От учащихся требуется применение своих знаний либо в измененной, либо в новой для них ситуации. При этом они должны проанализировать ситуацию, самостоятельно «сконструировать» математическую модель и способ решения, используя знания из различных разделов школьного курса математики, обосновать и математически грамотно записать полученное решение.
Приведем примеры заданий из материалов ЕГЭ за 2011-2017 гг:
Задание 2012 года:
С3 Решить систему неравенств:
Задание 2013 года:
С3 Решить систему неравенств:

С5 Найти все значения а, при каждом из которых множество точек (x, y), удовлетворяющих условию:
,
Будут иметь три общие точки с кривой, заданной уравнением:
.
Задание 2014 года:
С3 Решить систему неравенств:

Задание 2015 года:
17. Решите неравенство:
.
Задание 2016 года:
Профильный уровень:
15. Решите неравенство: .
Задание 2017 года:
Профильный уровень:
15. Решите неравенство: .
Анализ решений выпускниками заданий ЕГЭ на иррациональные неравенства позволил выделить ряд наиболее часто встречающихся ошибок:
1) ошибки, связанные с формальным перенесением методов и приемов решения уравнений на неравенства того же типа;
2) умножение неравенства на выражение с переменной;
3) применение к неравенству свойств пропорции;
4) «отбрасывание» знаменателя;
5) применение метода интервалов с предварительным введением вспомогательной переменной;
6) ошибка в определении знака на интервале;
7) отсутствие необходимого шага алгоритма;
8) неверное использование логической символики;
9) неумение тождественно преобразовывать дробно-рациональные, показательные и логарифмические выражения, а также неумение оценить равносильность этих преобразований.