Под какую годовую процентную ставку выгоднее сделать вклад сроком на 4 года: 24% простую или 23% сложную с начислением процентов 4 раза в год

РАЗДЕЛ 1. ДЕПОЗИТНЫЕ ОПЕРАЦИИ
ЗАДАЧА 1
1. Под какую годовую процентную ставку выгоднее сделать вклад сроком на 4 года: 24% простую или 23% сложную с начислением процентов 4 раза в год?
Решение
1 способ. Сравним коэффициенты наращения
Коэффициент наращения по простым процентам (в общем виде)
Кн (i) = 1+n*i
Коэффициент наращения по сложным процентам с многократным начислением (в общем виде)
Кн (j, m) = (1 + j/m)nm
Подставим данные задачи.
Кн (i) = 1 + 4 * 0,24 = 1,96
Кн (j, m) = (1 + 0,23 / 4)4*4 = 1,057516 = 2,446.
Вывод. При расчете коэффициентов наращения выгоднее сделать вклад по сложной ставке 23% (т.к. она больше).
2 способ. Рассчитаем одну из эквивалентных ставок.
Эквивалентная ставка простого процента (в общем виде)
iэкв = (〖(1+j/m)〗^nm-1)/n
Подставим данные задачи:
iэкв = (〖(1+0,23⁄4)〗^(4*4)-1)/4=0,362 или 36,2%
Вывод. Эквивалентная простой ставке по первому варианту простая процентная ставка составляет 36,2% годовых, что выше предлагаемой простой ставки в 24% годовых по второму варианту, следовательно, выгоднее разместить капитал по первому варианту, т.е. под 23% годовых с начислением процентов 4 раза в год.
2. Показать таблично и графически наращенные суммы для вклада величиной 10 000 руб. при этих двух процентных ставках за срок 0...4 года с шагом 0,5 года. Отметить на графике срок, при котором ставки эквивалентны. Указать области, в которых каждая ставка выгоднее другой.
Решение
Наращенная сумма по простым процентам рассчитывается по формуле (в общем виде):
FV (i) = PV (1 + ni)
Наращенная сумма по сложным процентам с многократным начислением рассчитывается по формуле (в общем виде):
FV (j, m) = PV (1 + j/m)nm
В соответствии с исходными данными рассчитаем наращенные суммы и заполним таблицу 1.
Таблица 1
Наращение суммы для вклада 10000 руб.
Срок n, лет FVпрост (i = 24%) FVсложн (j = 23%, m = 4) ΔFV = FVпрост - FVсложн
0 10000*(1+0*0,24)=10000 10000*(1+0,23/4)4*0=10000 0
0,5 10000*(1+0,5*0,24)=11200 10000*(1+0,23/4)4*0,5=11183 +17
1,0 10000*(1+1*0,24)=12400 10000*(1+0,23/4)4*1=12506 -106
1,5 10000*(1+1,5*0,24)=13600 10000*(1+0,23/4)4*1,5=13986 -386
2,0 10000*(1+2*0,24)=14800 10000*(1+0,23/4)4*2=15640 -840
2,5 10000*(1+2,5*0,24)=16000 10000*(1+0,23/4)4*2,5=17491 -1491
3,0 10000*(1+3*0,24)=17200 10000*(1+0,23/4)4*3=19560 -2360
3,5 10000*(1+3,5*0,24)=18400 10000*(1+0,23/4)4*3,5=21874 -3474
4,0 10000*(1+4*0,24)=19600 10000*(1+0,23/4)4*4=24462 -4862

Прирост стоимости вклада за полгода (по ставке 24%) = 1200.
Кн за полгода (по ставке 23% с начислением 4 раза в год) = (1 + 0,23 / 4)4*0,5 = 1,118
Используя данные таблицы 1, построим график наращенных сумм для двух заданных процентных ставок (рис.1).
Рис. 1. Наращение вклада по простым и сложным процентам
Вывод. Срок, при котором ставки эквивалентны, составляет 0,7 лет. При сроке от 0 до 0,7 лет выгодно инвестировать средства под 24% простых, а при сроке от 0,7 лет выгодно инвестировать средства под 23% сложных процентов с начислением 4 раза в год.
Схема денежного потока (с точки зрения инвестора)

ЗАДАЧА 2
1. Определить сумму, которую получит владелец депозита в конце срока договора, если в течение 5 лет он будет в конце каждого года вносить на счет 15 тыс. руб.; ставка сложного процента 25% годовых.
Решение
1 способ. Будущая стоимость аннуитета в режиме постнумерандо рассчитывается по формуле (в общем виде):