Фрагмент для ознакомления
2
Задача 1. Изделия четырех типов проходят последовательную обработку на двух станках. Время обработки одного изделия каждого типа на каждом из станков:
Станок Время обработки одного изделия, ч
Тип 1 Тип 2 Тип 3 Тип 4
1 5 3 4 6
2 3 5 2 2
Затраты на производство одного изделия каждого типа определяются как величины, прямо пропорциональные времени использования станков (в Машино-часах). Стоимость Машино-часа составляет $10 и $15 для станка 1 и 2 соответственно. Допустимое время для использования станков для обработки изделий всех типов ограничено следующими значениями: 500 машино-часов – для станка 1 и 380 машино-часов для станка 2. Цены изделий типов 1, 2, 3 и 4 равны $65, $70, $55 и $45 соответственно. Составить план производства, максимизирующий чистую прибыль
РЕШЕНИЕ
Критерий Байеса.
По критерию Байеса за оптимальные принимается та стратегия (чистая) Ai, при которой максимизируется средний выигрыш a или минимизируется средний риск r.
Считаем значения ∑(aijpj)
∑(a1,jpj) = 5*0.25 + 3*0.25 + 4*0.25 + 6*0.25 = 4.5
∑(a2,jpj) = 3*0.25 + 5*0.25 + 2*0.25 + 2*0.25 = 3
Ai П1 П2 П3 П4 ∑(aijpj)
A1 1.25 0.75 1 1.5 4.5
A2 0.75 1.25 0.5 0.5 3
pj 0.25 0.25 0.25 0.25
Выбираем из (4.5; 3) максимальный элемент max=4.5
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Критерий Вальда.
По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.
a = max(min aij)
Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Ai П1 П2 П3 П4 min(aij)
A1 5 3 4 6 3
A2 3 5 2 2 2
Выбираем из (3; 2) максимальный элемент max=3
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Критерий Севиджа.
Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается: a = min(max rij)
Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Находим матрицу рисков.
Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце bj = max(aij) характеризует благоприятность состояния природы.
1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.
r11 = 5 - 5 = 0; r21 = 5 - 3 = 2;
2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.
r12 = 5 - 3 = 2; r22 = 5 - 5 = 0;
3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.
r13 = 4 - 4 = 0; r23 = 4 - 2 = 2;
4. Рассчитываем 4-й столбец матрицы рисков.
r14 = 6 - 6 = 0; r24 = 6 - 2 = 4;
Ai П1 П2 П3 П4
A1 0 2 0 0
A2 2 0 2 4
Результаты вычислений оформим в виде таблицы.
Ai П1 П2 П3 П4 max(aij)
A1 0 2 0 0 2
A2 2 0 2 4 4
Выбираем из (2; 4) минимальный элемент min=2
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Критерий Гурвица.
Критерий Гурвица является критерием пессимизма - оптимизма. За оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение:
max(si)
где si = y min(aij) + (1-y)max(aij)
При y = 1 получим критерий Вальде, при y = 0 получим – оптимистический критерий (максимакс).
Критерий Гурвица учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Как выбирается y? Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем y ближе к 1.
Рассчитываем si.
s1 = 0.5*3+(1-0.5)*6 = 4.5
s2 = 0.5*2+(1-0.5)*5 = 3.5
Ai П1 П2 П3 П4 min(aij) max(aij) y min(aij) + (1-y)max(aij)
A1 5 3 4 6 3 6 4.5
A2 3 5 2 2 2 5 3.5
Выбираем из (4.5; 3.5) максимальный элемент max=4.5
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A1.
Задача 2. Решить транспортную задачу. В ответе указать план и минимальную стоимость всех перевозок.
а1 bj 20 20 30 30
20 2 4 8 2
30 4 6 10 3
50 2 5 9 7
РЕШЕНИЕ
Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов
B1 B2 B3 B4 Запасы
A1 2 4 8 2 20
A2 4 6 10 3 30
A3 2 5 9 7 50
Потребности 20 20 30 40
Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.
∑a = 20 + 30 + 50 = 100
∑b = 20 + 20 + 30 + 40 = 110
Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения превышает запасы груза на базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) базу с запасом груза, равным 10 (100—110). Тарифы перевозки единицы груза из базы ко всем потребителям полагаем равны нулю.
Занесем исходные данные в распределительную таблицу.
B1 B2 B3 B4 Запасы
A1 2 4 8 2 20
A2 4 6 10 3 30
A3 2 5 9 7 50
A4 0 0 0 0 10
Потребности 20 20 30 40
Этап I. Поиск первого опорного плана.
Искомый элемент равен c11=2. Для этого элемента запасы равны 20, потребности 20. Поскольку минимальным является 20, то вычитаем его.
x11 = min(20,20) = 20.
2 x x x 20 - 20 = 0
4 6 10 3 30
2 5 9 7 50
0 0 0 0 10
20 - 20 = 0 20 30 40
Искомый элемент равен c24=3. Для этого элемента запасы равны 30, потребности 40. Поскольку минимальным является 30, то вычитаем его.
x24 = min(30,40) = 30.
2 x x x 0
4 x x 3 30 - 30 = 0
2 5 9 7 50
0 0 0 0 10
0 20 30 40 - 30 = 10
Искомый элемент равен c32=5. Для этого элемента запасы равны 50, потребности 20. Поскольку минимальным является 20, то вычитаем его.
x32 = min(50,20) = 20.
2 x x x 0
4 x x 3 0
2 5 9 7 50 - 20 = 30
0 x 0 0 10
0 20 - 20 = 0 30 10
Искомый элемент равен c34=7. Для этого элемента запасы равны 30, потребности 10. Поскольку минимальным является 10, то вычитаем
Показать больше