1. Деформация растяжения-сжатия 2. Деформация кручения 3. Деформация изгиба 4. Механические передачи 5. Детали машин

Задача 1.

Защемленный в стене двухступенчатый брус нагружен осевыми силами, как показано на схеме. Массой бруса пренебречь. Необходимо:
I) Определить нормальные силы и напряжения в поперечных сечениях по всей длине бруса;
II) Построить эпюры нормальных сил и напряжений по длине бруса;
III) Определить перемещение свободного конца бруса, если Е = 2·105 МПа.
Исходные данные: F1 = 50 кН; F2 = 15 кН; F3 = 150 кН; а = b = c = 0,1 м;
A1 = 2 см2; A2 = 4,2 см2.

Рис. 1

Решение.

а) Заданный брус имеет три участка нагружения. Границами участков нагружения являются места приложения внешних сил и изменения размеров поперечного сечения.

Возьмем произвольное сечение на участке 1 и, отбросив левую часть бруса, рассмотрим равновесие оставленной части. На оставленную часть действует искомая сила N1 и внешняя сила F1. Составляя для оставленной части бруса уравнение равновесия, получим:
Σz = 0; N1 = -F1 = -50 кН.
На участке 1 продольная сила постоянна и отрицательна (эта часть бруса испытывает сжатие).
Возьмем произвольное сечение на участке 2 и, отбросив левую часть бруса, рассмотрим равновесие оставленной части. На оставленную часть действует искомая сила N2 и внешние силы F1 и F2.
Составляя для оставленной части бруса уравнение равновесия, получим:
Σz = 0;
-N2 - F1 + F2 = 0;
N2 = -F1 + F2 = -50 + 15 = -35 кН.
На участке 2 продольная сила постоянна и отрицательна (эта часть бруса испытывает сжатие).
Возьмем произвольное сечение на участке 3 и, отбросив верхнюю часть бруса, рассмотрим равновесие оставленной части. На оставленную часть действует искомая сила N3 и внешние силы F1, F2 и F3.
Составляя для оставленной части бруса уравнение равновесия, получим:
Σz = 0;
-N3 - F1 - F3 + F2 = 0;
N3 = -F1 - F3 + F2 = -50 - 150 + 15 = -185 кН.
На участке 3 продольная сила постоянна и отрицательна (эта часть бруса испытывает сжатие).
Строим эпюру продольных сил (рис. 2).
Построим эпюру нормальных напряжений.


При растяжении (сжатии) нормальные напряжения по площади поперечного сечения распределяются равномерно и вычисляются по формуле: σ = N/А.
Рассмотрим 1 участок:
σ1 = N1/А2 = -50000/4,2·10-4 = -119 МПа.
Рассмотрим 2 участок:
σ2 = N2/А1 = -35000/2·10-4 = -175 МПа.
Рассмотрим 3 участок:
σ3 = N3/А1 = -185000/2·10-4 = -925 МПа.
Строим эпюру нормальных напряжений (рис. 2).
Определим перемещение свободного конца бруса.
Перемещение сечения А равно нулю (оно закреплено).
Перемещение сечения В равно удлинению части АВ бруса:
λВ = ΔlAB = N3∙а/E∙А1 = -185000∙0,1/2∙1011∙2∙10-4 = -4,6∙10-4 м = -0,46 мм.
Перемещение сечения С равно алгебраической сумме изменений длин участков АВ и ВС бруса:
λС = ΔlAС = ΔlAB + ΔlBС = -4,6∙10-4 + N2∙b/E∙А1 =
= -4,6∙10-4 - 35000∙0,1/2∙1011∙2∙10-4 = -5,5∙10-4 м = -0,55 мм.
Перемещение сечения D равно алгебраической сумме изменений длин участков АВ, ВС и СD бруса:
λD = ΔlAD = ΔlAB + ΔlBС + ΔlСD = -5,5∙10-4 + N1∙c/E∙А2 =
= -5,5∙10-4 - 50000∙0,1/2∙1011∙4,2∙10-4 = -6,1∙10-4 м = -0,61 мм.

Рис. 2

б) Заданный брус имеет четыре участка нагружения. Границами участков нагружения являются места приложения внешних сил и изменения размеров поперечного сечения.
Возьмем произвольное сечение на участке 1 и, отбросив левую часть бруса, рассмотрим равновесие оставленной части. На оставленную часть действует искомая сила N1 и внешняя сила F1. Составляя для оставленной части бруса уравнение равновесия, получим:
Σz = 0; N1 = F1 = 50 кН.
На участке 1 продольная сила постоянна и положительна (эта часть бруса испытывает растяжение).
Возьмем произвольное сечение на участке 2 и, отбросив левую часть бруса, рассмотрим равновесие оставленной части. На оставленную часть действует искомая сила N2 и внешняя сила F1. Составляя для оставленной части бруса уравнение равновесия, получим:
Σz = 0; N2 = F1 = 50 кН.
На участке 2 продольная сила постоянна и положительна (эта часть бруса испытывает растяжение).
Возьмем произвольное сечение на участке 3 и, отбросив левую часть бруса, рассмотрим равновесие оставленной части. На оставленную часть действует искомая сила N3 и внешние силы F1 и F2.
Составляя для оставленной части бруса уравнение равновесия, получим:
Σz = 0;
-N3 + F1 - F2 = 0;
N3 = F1 - F2 = 50 - 15 = 35 кН.
На участке 3 продольная сила постоянна и положительна (эта часть бруса испытывает растяжение).
Возьмем произвольное сечение на участке 4 и, отбросив верхнюю часть бруса, рассмотрим равновесие оставленной части. На оставленную часть действует искомая сила N4 и внешние силы F1, F2 и F3.