Вычислить пределы, не применяя правило Лопиталя:
а) lim┬(x→1)〖(x^2-2x+1)/(2x^2-7x+5)〗=[0/0]=lim┬(x→1)〖〖(x-1)〗^2/(2(x-1)(x-5/2))〗=lim┬(x→1)〖((x-1))/((2x-5))〗=0/(-3)=0
б) lim┬(x→∞)〖(4x^3+7x^2)/(2x^3-4x^2+5)〗=[∞/∞]=lim┬(x→∞)〖(x^3 (4+7/x))/(x^3 (2-4/x+5/x^3 ) )〗=lim┬(x→∞)〖(4+7/x)/(2-4/x+5/x^3 )〗=(4+0)/(2-0+0)=4/2=2
в) lim┬(x→-4)〖(√(x+12)-√(4-x))/(x^2+2x-8)〗=[0/0]=lim┬(x→-4)〖(√(x+12)-√(4-x))(√(x+12)+√(4-x))/((x-2)(x+4)(√(x+12)+√(4-x)) )〗=
=lim┬(x→-4)〖((x+12)-(4-x))/((x-2)(x+4)(√(x+12)+√(4-x)) )〗=lim┬(x→-4)〖(2(x+4))/((x-2)(x+4)(√(x+12)+√(4-x)) )〗=
=lim┬(x→-4)〖2/(x-2)(√(x+12)+√(4-x)) 〗=2/(-6(√8+√8) )=-1/(6√8)=-1/(12√2)=-√2/24
г) lim┬(x→∞)〖((2x+1)/(2x-1))^(x+2) 〗=lim┬(x→∞)〖(((2x-1)+2)/(2x-1))^(x+2) 〗=lim┬(x→∞)〖(1+2/(2x-1))^(x+2) 〗=
=lim┬(x→∞)〖(1+2/(2x-1))^((2x-1)/x)(2/(2x-1))(x+2) 〗=lim┬(x→∞)〖((1+2/(2x-1))^(((2x-1)/x) ) )^(2/(2x-1))(x+2) 〗=
=lim┬(x→∞)〖e^(((2x+4)/(2x-1)) ) 〗=e^(lim┬(x→∞) ((2x+4)/(2x-1)) )=e^(lim┬(x→∞) ((2+4/x)/(2-1/x)) )=e^1=e
Исследовать на непрерывность функцию и построить её график:
f(x)={█(x+1 при x≤0 @(x+1)^2 при 0
Найдем односторонние пределы функции:
lim┬(x→0-)〖(x+1)〗=(0-)+1=1
lim┬(x→0+)〖(x+1)^2 〗=((0+)+1)^2=1
lim┬(x→0-)f(x)=lim┬(x→0+)f(x)=f(0)=1
Так как в точке x=0 функция имеет конечные пределы, равные между собой и равные значению функции в этой точке, то функция непрерывна в этой точке x=0.
lim┬(x→2-)〖(x+1)^2 〗=((2-)+1)^2=9
lim┬(x→2+)〖(-x+4)〗=-(2+)+4=2
lim┬(x→2-)f(x)≠lim┬(x→2+)f(x):9≠2
Так как в точке x=2 функция имеет конечные пределы, не равные между собой, то функция f(x) в этой точке имеет неустранимый разрыв I рода.
3. Найти производную функции:
а) y=121-7e^x-1/x+2√x+2 arccosx
y^'=(121-7e^x-1/x+2√x+2 arccosx )^'=
=(121)^'-(7e^x )^'-(1/x)^'+(2√x)^'+(2 arccosx )^'=0-7e^x+1/x^2 +2/√x-2/√(1-x^2 )
б) y=(x^4+x)∙1/x
y^'=(x^4+x)^'∙1/x+(x^4+x)∙(1/x)^'=((x^4 )^'+(x)^' )∙1/x+(x^4+x)∙(x^(-1) )^'=
=(4x^3+1)∙1/x+(x^4+x)∙(-1/x^2 )=4x^2+1/x-x^2-1/x=3x^2
в) y=x^2/(5+x)
y^'=((x^2 )^' (5+x)-x^2 (5+x)^')/(5+x)^2 =(2x(5+x)-x^2∙1)/(5+x)^2 =(x^2+10x)/(5+x)^2 =x(x+10)/(5+x)^2
4. Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график:
y=(x^2-x+1)/(x-1)
1) Область определения функции: x-1≠0 (-∞;1)∪(1;+∞)
2) Четность / нечетность функции:
y(-x)=((-x)^2-(-x)+1)/((-x)-1)=-(x^2+x+1)/(x+1)≠-y(x)≠y(x)
Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. функция общего вида.
3) Функция не является периодической.
4) Точки пересечения графика функции с осями координат:
Пересечение с осью 0Y: x=0, y(0)=(0^2-0+1)/(0-1)=-1
Пересечение с осью 0X: y=0: (x^2-x+1)/(x-1)=0 {█(x^2-x+1=0@x-1≠0)┤ пересечений нет, т.к. уравнение x^2-x+1=0 не имеет решения (дискриминант < 0)
5) Асимптоты графика функции:
Уравнения наклонных асимптот ищут в виде y=kx+b.
По определению асимптоты:
Находим коэффициент kпо формуле:
Находим коэффициент b по формуле:
Следовательно, уравнение наклонной асимптоты можно записать в виде: y=x
Найдем вертикальные асимптоты, функция имеет точку разрыва x=1:
Находим односторонние переделы в точке x=1:
;
Следовательно, точка x=1 – точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.
6) Находим интервалы монотонности и точки экстремума функции y=(x^2-x+1)/(x-1):
y^'=((x^2-x+1)/(x-1))^'=((x^2-x+1)^' (x-1)-(x^2-x+1) (x-1)^')/(x-1)^2 =((2x-1)(x-1)-(x^2-x+1))/(x-1)^2 =x(x-2)/(x-1)^2
Находим стационарные точки:
x(x-2)/(x-1)^2 =0 {█(x=0@x=2@x≠1)┤
Определяем интервалы монотонности и точки экстремума
x (-∞ ;0) 0 (0; 1) 1 (1; 2) 2 (2; +∞)
y^' y^'>0 т. max y^'<0 – y^'<0 т. min y^'>00
y функция -1 функция – функция 3 функция
В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 0 – точка максимума. В окрестности точки x = 2 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 2 – точка минимума.
7) Находим интервалы выпуклости / вогнутости и точки перегиба функции y=(x^2-x+1)/(x-1):
y^''=((x^2-2x)/(x-1)^2 )^'=((x^2-2x)^' (x-1)^2-(x^2-2x) ((x-1)^2 )^')/(x-1)^4 =((2x-2) (x-1)^2-2(x^2-2x)(x-1))/(x-1)^4 =
=((2x-2)(x-1)-2(x^2-2x))/(x-1)^3 =2/(x-1)^3
Находим стационарные точки:
2/(x-1)^3 =0 {█(x≠1)┤
Определяем интервалы выпуклости / вогнутости и точки перегиба:
x (-∞ ;1) 1 (1; +∞)
y^'' y^''<0 – y^''>0
y функция выпукла – функция вогнута
8) Строим график функции:
5. Найти неопределенный интеграл:
а) ∫▒(3^x+12 cosx-24)dx=3^x/ln3 ++12 sinx-24x+C
б) ∫▒〖sin(3-2x)dx〗=|█(3-2x=t@-2dx=dt; x=-1/2 dt)|=∫▒〖-1/2 sint dt〗=-1/2 cost+C=
=1/2 cos(3-2x)+C
в) ∫▒〖x cosx dx〗=|█(u=x;du=dx@dv=cosx dx; v=sinx )|=x∙sinx-∫▒〖sinx dx〗=
=x∙sinx+cosx+C
6. Вычислит определенный интеграл:
