Финансовая математика. При наращении по простым процентам начисленные проценты не присоединяются к основной сумме долга, а периодическим образом выплачивают.

Теоретическая часть

Лекция 1. «Введение»
1. История формирования дисциплины «Финансовая математика».
2. Понятие и предмет дисциплины. Цели изучения дисциплины, её методы и задачи.
3. Основные понятия, относящиеся к изучению дисциплины.

1. История формирования дисциплины «Финансовая математика»
Самым ранним примером финансовой инженерии являются труды древнегреческого философа Фалеса Милетского (624-547 г. до н.э.). Так, он умел по звездам предсказать, что будет большой урожай оливок в следующем году; так, имея немного денег, он делал вклад для использования всех прессов для оливок в Хиосе и Милете, которые он нанимал по низкой цене.
В 1202 году Леонордо Фибоначчи, написал самую первую книгу по финансовой математике, «Книга вычислений». В ней Фибоначчи рассчитал текущую стоимость альтернативных денежных потоков в дополнение к разработке общего метода для выражения инвестиций и решил широкий спектр задач, связанных с процентными ставками.
Джироламо Кардано, известный итальянский математик эпохи Ренессанса, в 1565 году опубликовал свой трактат «Книга азартных игр», который основал элементарную теорию азартных игр.
Примерно через столетие после Кардано, в 1654 году, два французских математика Блез Паскаль и Пьер де Ферма', заложили первые основы теории вероятностей. Первоначально поставленная задача заключалась в том, чтобы решить, стоит ли делать ставки на то, что при 24 бросаниях игральных костей два раза выпадет по 6 очков.
На рубеже 20-го века, 29 марта 1900 года, французский докторант Луи Башелье защитил диссертацию «Теория спекуляций», которая сегодня признана свидетельством о рождении современной финансовой математики.
Одна из наиболее широко используемых математических формул в финансовой математике сегодня, лемма Ито, была получена японским математиком Киёши Ито в своей знаменитой статье: «О стохастических дифференциальных уравнениях (1951) ». Ито построил свой знаменитый стохастический дифференциал.
Большой прорыв произошел в 1973 году, когда Фишер Блэк и Майрон Шоулз опубликовали статью «Ценообразование опционов и корпоративных обязательств» и Роберт Мертон опубликовали статью «О ценообразовании корпоративного долга: структура риска процентных ставок ". В этих статьях была введена новая методология оценки финансовых инструментов и, в частности, модель Блэка-Шоулза для оценки европейских опционов-call и put. В то же время еще одним прорывом стало основание Чикагской биржи, на которой продавались опционы.

2. Понятие и предмет дисциплины. Цели изучения дисциплины, её методы и задачи

Финансовая математика представляет собой дисциплину, в рамках которой изучают методы математических расчётов, которые применяют в финансовых операциях. Объект изучения - любого рода финансово-кредитные операции, которые предполагают наличие некоторых условий, с которыми согласны принимающие участие стороны. Предмет – финансовые и актуарные оценки показателей эффективности этих операций и сделок, а также доходов отдельно взятых участников данных сделок, определяемых в виде процентных ставок, норм и коэффициентов, скидок, доходов и дивидендов, ренты и маржи, котировок ценных бумаг, курсов валют, курсовых разниц и пр.
Цель курса состоит в изучении методов количественного анализа, необходимых для принятия финансовых решений в условиях современного рынка. В процессе изучения курса «Финансовая математика» решаются следующие задачи:
1. Овладение основными принципами и методами анализа одиночных выплат и потоков платежей;
2. Понимание финансовой эквивалентности платежей;
3. Изучение современных моделей оценивания производных финансовых инструментов;
4. Применение изученных методов при анализе ценных бумаг, при решении кредитных и коммерческих задач.
В курсе финансовой математики систематически излагаются методы количественного анализа, используемые при принятии управленческих решений в финансовой сфере. Рассматриваются методы учета факторов времени, инфляции, оценки потоков платежей, операций с ценными бумагами и др.

3. Основные понятия, относящиеся к изучению дисциплины

Проценты – это доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты и т.д.), либо от инвестиций производственного или финансового характера.
Процентная ставка – это величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.
Наращение (рост) первоначальной суммы долга – это увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов (дохода).
Множитель (коэффициент) наращения – это величина, показывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.
Период начисления – это промежуток времени, за который начисляются проценты (получается доход).
Интервал начисления – это минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

Лекция 2. «Простой процент»
1. Математический процент.
2. Простой процент. Формула простых процентов и её обобщения.
4. Дисконтирование по простым процентам.
5. Банковский учет векселей.
6. Учётная ставка.

1. Математический процент

Проценты (процентные деньги) представляют собой абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любого рода его форме: выдача ссуды; продажа товара в кредит; помещение денег на депозит и пр.
Любая из операций, как наращения, так и дисконтирования, не представляется возможной без использования определенного уровня ставки процента и схемы начисления процентов. Начисление процентов возможно по схеме простого процента, либо по схеме сложного процента.

2. Простой процент. Формула простых процентов и её обобщения

При наращении по простым процентам начисленные проценты не присоединяются к основной сумме долга, а периодическим образом выплачивают. База для начисления процентов остается постоянной, и процесс роста исходной суммы происходит равномерно. По определению, наращенная сумма – это первоначальная сумма с начисленными к концу срока процентами. В случае начисления простых процентов, наращенная сумма определяется по формуле:
FV = PV × (1 + nr), (1)
где PV – первоначальная сумма долга;
FV – наращенная сумма, т.е. сумма в конце срока;
r – ставка наращения процентов (десятичная дробь);
n – срок ссуды.
(1 + nr) – множитель наращения простых процентов, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной.
Если срок операции n выражен в днях, а процентная ставка годовая, то n можно представить в виде дроби:
n = t / K, (2)
Тогда формула наращения простых процентов примет вид:
FV=PV×(1+t/K×r). (3)
Число дней операции t может быть:
– точное, рассчитанное строго по календарю;
– приближенное, определяется исходя из предположения, что все месяцы в году равны между собой (по 30 дней).
В зависимости от применяемой временной базы и способа расчета t , возможны три варианта расчета простых процентов:
1. Английская методика: (365/365) – точные проценты с точным числом дней ссуды;
2. Французская методика: (360/365) – обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
3. Германская методика: (360/360) – обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

4. Дисконтирование по простым процентам
Дисконтирование – нахождение величины денежной суммы на заданный момент времени t по известному или предполагаемому значению в будущем, исходя из значения процентной ставки.
На основании формулы наращения простых процентов (1) получаем формулу дисконтирования в виде: