Методика использования задач при обучении алгоритмам математических действий

В задачнике для 7 класса [21] в достаточном количестве представлены задания на отработку умений решать линейные уравнения с одной переменной, графическое решение уравнений, задачи, решаемые алгебраическим способом
Никольский С.М., Потапов М.К. «Алгебра. 7 класс»,
В 7 классе [1] изучаются линейные уравнения. При этом автор отдельно расставляет акценты на уравнения первой степени с одним неизвестным, понятие линейного уравнения, алгоритм решения линейного уравнения и решение задач с помощью линейного уравнения. Считаем, что материала для отработки вводимых понятий и навыков решения линейного уравнения достаточно и рассчитан на ученика со средней успеваемостью, для более продвинутых учащихся потребуется дополнительный материал. Текстовых задач, решаемых составлением линейного уравнения недостаточно.
В учебнике Ю.М. Колягина и др. «Алгебра. 7 класс» [2]) вводится и рассматривается класс уравнений, названный по-иному –уравнения первой степени с одним неизвестным. К особенностям введения этого класса следует отнести то, что явного определения нет: определение заменяется описанием и иллюстрацией несколькими примерами. Предполагается, что в итоге их рассмотрения учащиеся получат ясное представление об объеме понятия.
Автор формулирует определение: равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением.
Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство.
Решить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.
Далее сообщается, что решение многих практических задач сводится к решению уравнений, которые можно преобразовать в уравнение
ax=b, (1)
где а и b - заданные числа, х – неизвестное.
Уравнение (1) называют линейным уравнением [2].
Основное внимание в учебнике Ю. М. Колягина и др. уделяется изложению правил последовательного преобразования уравнения к более простому виду. Фактически при этом приходят к уравнению ах = b. Этот класс уравнений явно не выделяется, но на примерах рассматриваются все возможные случаи решения уравнений из него. Такой подход позволяет сконцентрировать внимание непосредственно на алгоритмах решения уравнений.
Тема «Системы алгебраических уравнений» рассматривается в учебниках алгебры в 7 классе и является важной при обучении математике. Изучая данную тему в школе, ученики не только учатся решать системы уравнений, но и приобретают навыки по построению математических моделей. Поэтому важность умения решать системы уравнений трудно недооценить. Кроме того, внимание системам уравнений уделяется и в старших классах [2].
Анализ содержания теоретического материала по системам уравнений представлен в Приложении 1. Проведем анализ учебников.
В учебнике А.Г. Мордковича в 7 классе [21] приводится понятие линейного уравнения с двумя переменными – это является первой ступенью к подведению учеников к понятию систем уравнений. Далее ученики подробнее изучают системы уравнений, метод подстановки и метод алгебраического сложения. Также рассматривается графический способ решения систем, но сам способ не выделяется отдельным параграфом. Автор учебника знакомит учеников со способом решения задач с помощью систем уравнений, рассматривая математические модели реальных ситуаций, решаемых через системы уравнений. Он выделяет случаи, когда системы несовместны, неопределённы. Отметим, что все эти понятия рассматриваются в рамках обучения линейным уравнениям в самом начале курса – 11-14 параграфы.
Автор учебника алгебры для 7 класса Ю.М. Колягин приводит материал по теме гораздо позднее – параграфы 33-37. Причtм материал по данной теме представлен более подробно – введение в главу начинается с детального рассмотрения понятия системы уравнений: от значения фигурной скобки в её записи, до примеров их решения. Графический способ решения систем уравнений выделяется отдельным параграфом. Методика введения понятий по теме в указанных учебниках не имеет существенных отличий [2].
Рассмотрим учебник алгебры 7 класса С.М. Никольского. В нем тема «Системы линейных уравнений» рассмотрена наиболее подробно. В этот параграф включены такие пункты, как «Равносильность уравнений и систем уравнений»; «Системы уравнений первой степени с тремя неизвестными». В дополнении к главе приведён Метод Гаусса для решения систем уравнений [1].
Большинство авторов учебников алгебры 7 класса придерживаются одной последовательности изучения темы «Системы уравнений». Отличия есть только в количестве часов на ее изучение.
В учебнике Ю.М. Колягина на обучение данной теме выделяется 13-17 часов; А.Г. Мордковича – 12-16 часов на изучение темы; в учебнике Никольского 12-17 часов в зависимости от варианта изучения.
Подводя итог, можно отметить, что изучение материала линии «Уравнения и системы уравнений» имеет общей целью овладение учащимися на том или ином уровне приемами решения (алгебраического или графического) уравнений и систем уравнений как математического аппарата решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний и практики

1.3. Алгоритмы обобщенных приемов решения уравнений и систем линейных уравнений

В данном параграфе мы рассмотрим различные типы линейных уравнений и систем линейных уравнений, покажем на конкретных примерах. Для каждого примера будем рисовать либо схему алгоритма его решения, либо прописывать шаги алгоритма.
Дадим определение линейного уравнения с одной переменной в виде схемы и приведем алгоритм решения уравнения данного типа:
Схема решения линейного уравнения с одной переменной представлена на рисунке 2.

Рис.2. Схема алгоритма решения линейного уравнения

Решение большинства уравнений сводится к решению линейных уравнений. При решении уравнений используют следующие свойства: если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится равносильное уравнение. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число (не равное нулю), то получится равносильное уравнение.
Алгоритм решения линейного уравнения
1. Раскрыть скобки в обеих частях уравнения;
2. Перенести слагаемые, содержащие переменную в одну часть, а известные слагаемые– в другую;
3. Привести в каждой части уравнения подобные члены;
4. Разделить обе части уравнения на коэффициент при переменной.
Рассмотрим примеры решения уравнений:
1) (13х-15)-(9+6х)=-3х
Раскроем скобки: 13х-15–9-6х=-3х.
Перенесем с противоположными знаками неизвестные члены в левую, а известные – в правую часть уравнения, тогда получим уравнение:
13х-6х+3х=15+9.
Приведем подобные слагаемые. 10х=24.
Разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, на 10, получим.
х=2,4 Ответ: 2,4
2) 7(x+1) = 7x+7
Раскроем скобки: 7х+7=7x+7
Перенесем с противоположными знаками неизвестные слагаемые в левую часть, а известные – в правую часть уравнения, тогда получим уравнение: 7х-7х=7-7
Приведем подобные слагаемые, получим: 0=0.
Ответ: Бесконечное множество корней
3) х+3=х
Перенесем с противоположными знаками неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, тогда получим уравнение:х-х=3
Приведем подобные слагаемые, получим: 0=3.
Ответ: уравнение корней не имеет.
С помощью линейных уравнений решается большинство текстовых задач. Рассмотрим задачи на составление линейных уравнений с одной переменной.
Алгоритм решения задач с помощью уравнений состоит из следующих шагов:
1. неизвестную величину, значение которой необходимо определить, обозначим переменной, например x;