Элементы комбинаторики в средней школе

Введение

Актуальность темы исследования обусловлена тем, что в настоящее время элементы комбинаторики завоевали очень серьезное место в науке и прикладной деятельности. Её идеи, методы и результаты не только используются, но и буквально пронизывают все естественные и технические науки.
В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называют комбинаторикой. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare, которое означает «соединять, сочетать». Методы комбинаторики находят широкое применение в физике, химии, биологии, экономике, теории вероятностей и других областях науки.
Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.
Современная концепция школьного образования ориентирована на учет индивидуальности учащегося, его интересов и склонностей. Этот фактор вызвал изменения в требованиях к математической подготовке ученика, возникла необходимость внедрения интерактивных методик преподавания математики. Развитие у учащихся вероятностной интуиции и статистического мышления стало насущной задачей, так как важно не только обучение математике, но и формирование личности посредством математики.
Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей стали неотъемлемой частью школьной программы. Данные вопросы в той или иной степени изучаются с пятого по одиннадцатый класс.
Объектом исследования является учебно–воспитательный процесс в основной школе.
Предметом исследования является методика изучения комбинаторики в основной школе.
Цель курсовой работы – проанализировать элементы комбинаторики в средней школе.
Задачи:
- определить понятия комбинаторики и ее возникновение.
- выявить особенности изучения комбинаторики в школьном курсе математики.
- рассмотреть методику изучения элементов комбинаторики в 5 классе.
- проанализировать методику решения комбинаторных задач в 6 классе.
- рассмотреть методику обучения решению комбинаторных задач с применением графических способов в курсе математики 7-9 классов.
Для решения задач были использованы следующие методы исследования: анализ учебно-методической литературы, работ по математике, школьных программ, методических пособий, учебников и учебных пособий, изучение опыта работы отечественной школы.
Структура работы обусловлена целями и задачами исследования. Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.






Глава 1. Теоретические основы изучения комбинаторных задач в школе
1.1. Понятия комбинаторики и ее возникновение

Комбинаторика - это область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству.
Комбинаторика, как раздел математической науки, стал формироваться еще в Древнем Китае при описании популярной китайской игры го. Занимались комбинаторными вопросами и древнегреческие, древнеиндийские математики. Но сформировалась она как наука, можно сказать, в средневековье, как в Европе, так параллельно и в арабском мире, начав решать задачи в теории игр, разгадывать закономерности решения и построения головоломок.
Математики с увлечением взялись исследовать методами комбинаторики свои любимые азартные игры. Например, теория игры в кости, разработанная любителем этого времяпрепровождения итальянцем Джероламо Кардано. В Новое время в Европе методы комбинаторики стали использоваться при разработке шифров (и сразу же при разработке взломов данных шифров).
Финальное завершение формирования комбинаторики-науки, и науки вполне самостоятельной, произошло уже в 18-м веке в Европе. Выдающуюся роль в этом сыграл знаменитый математик, физик, астроном и механик Леонард Эйлер, швейцарец, половину жизни проживший и проработавший в столице Российской империи.
В середине 20-го века комбинаторика оставалась еще новой, полной неизведанных перспектив, еще не изученной и не разработанной достаточно отраслью математики. Хотя к тому времени математики серьезно взялись за продвижение комбинаторной геометрии, доказали множество теорем, относящихся к данной отрасли, разрешили немало комбинаторных проблем, ввели в комбинаторику массу новых методов анализа. Например, вероятностный анализ, связавший теорию вероятности и комбинаторику.

На сегодня комбинаторика стала уникально полезным для человечества разделом науки. Она очень быстро развивается, и стала тесно связана с компьютерными системами. С ее помощью решаются практические задачи из всех сфер мирового знания. На сегодня комбинаторику ученые отнесли к разделу конечной математики.
В заданиях по комбинаторике обычно нужно выяснить, возможно ли составить комбинацию определённого вида, и сколько различных комбинаций можно составить.
Выделяют три основных вида комбинаторных задач с применением формул.
1) Перестановки. «Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки» [15].
Определение 1. «Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке» [5, C. 18]. Название тут говорит само за себя. Чтобы получить всевозможные перестановки некой совокупности объектов, нужно просто по очереди выставлять их в ряд в любом возможном порядке. Разные порядки предметов в ряду и будут перестановками [11].
2) Размещения.
Определение 2. «Размещением из n элементов по k (k ≤ n) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов» [5, C. 20].
3) Сочетания. Заключительный тип базовой программы — сочетания. Будем всевозможными способами выбирать m предметов из n имеющихся, но теперь, в отличие от размещений, без учёта порядка. Каждый такой неупорядоченный набор из m элементов и будет сочетанием.
Определение 3. «Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов» [15, C. 18].

В итоге, можем сказать, что комбинаторные задачи – это задачи выбора и расположения элементов конечного множества, имеющие в качестве исходной некоторую формулировку развлекательного содержания в виде головоломок. В комбинаторных задачах выделяют три типа соединений, которые высчитываются по определенным формулам, к ним относятся: перестановки, размещения, сочетания.
Учащимся, которые впервые знакомятся с комбинаторикой, очень сложно усвоить материал, так как весь школьный курс комбинаторики дается одним блоком именно в 9 классе, до этого времени обучающиеся не были знакомы даже с основными понятиями. Вследствие этого большинство учащихся путают виды комбинаций, используют неверные формулы.
Проблема, заключается в том, что школьники не привыкли решать задачи дискретной математики, которые определенным образом отличаются от задач непрерывной математики, преобладающих в школьном курсе; специфика задач дискретной математики в том, что формулировка их очень проста и интересна, создает иллюзию легкости, что не всегда так. Часто школьники, особенно старшего возраста (8-9 классы), привыкшие к более сложной формулировке заданий, не воспринимают всерьез комбинаторные задачи, что приводит к недостаточному усвоению данного курса.

1.2 Особенности изучения комбинаторики в школьном курсе математики

Для введения элементов комбинаторики, теории вероятности, статистики в практику преподавания математики создаются реальные условия. В общеобразовательных школах имеется учебно-методическое обеспечение, позволяющее включать элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в учебный процесс» [10]. Уже несколько лет в различных регионах России учащиеся основной школы работают по учебным комплектам «Математика 5 - 6» под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина [13], «Математика 7 - 9» под ред. Г.В. Дорофеева [5].
В учебниках указанных авторов вероятностно-статистическая линия вводится с 5 по 9 класс. Авторы знакомят учеников с комбинаторным принципом умножения, различными видами соединений (перестановки, размещения, сочетания) и формулами, по которым они высчитываются.
Авторы данных учебников в содержании курса «Комбинаторика» основываются на жизненный опыт учащихся. Так в 5 классе изучаются «случайные, достоверные, невозможные события», а в 6 классе – понятие «эксперимента со случайными исходами, частота и вероятность события». Школьники учатся оценивать наступления несложных случайных событий сначала на качественном уровне, после они начинают уже рассчитывать его наступление по формуле.
Также ученики знакомятся с комбинаторными задачами, для их решения в 5 - 6 классах вводится понятие «дерева возможных вариантов», изучают правило комбинаторного умножения. В «Учебниках-собеседниках» для 5 - 6 классов (авторы Л. Н. Шеврин и др.) стохастическая линия так же внедряется в учебный процесс [16]. Извлекать информацию с таблиц учащиеся начинают в начале 5 класса. Знакомство с теорией вероятности и комбинаторикой начинается в конце 5 классе. Два последних параграфа посвящены «достоверным, невозможным и случайным событиям, совместным и несовместным событиям, сравнению шансов наступления событий», а также первое знакомство с комбинаторными задачами. Учащимся предлагают изучить такой метод решения, как составление дерева возможных вариантов.
Учебники «Арифметика» для 5-6 классов и «Алгебра» для 7-9 классов С.М. Никольского, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова, А.В. Шевкина содержат элементы комбинаторики, статистики, теории вероятностей [10]. В учебниках данных авторов рассмотрен минимальный круг вопросов. В 5 классе изучаются комбинаторные задачи на существование и построение комбинаций, которые удовлетворяют заданному условию. В 6 классе рассматриваются задачи на перебор возможных вариантов, вводится понятие «вероятности события», формируются умения работать с информацией, которая представлена в виде графиков, диаграмм.
Чтобы школьники должным образом усваивали программу, нужно составлять ее, учитывая возрастные особенности учащихся, а именно:
-в 5-6 классах уроки лучше проводить в игровой форме, позволить учащимся обыграть некоторые ситуации при решении задач;
-в 7-8 классах лучше сделать упор на занимательные задачи, разобрать какие-нибудь интересные головоломки, игры, связанные с комбинаторикой, для повышения интереса к предмету;