Построение графиков дробно-рациональных функций с помощью теории пределов и непрерывности

Введение
2
В современной жизни приходится решать не только практические задачи, но и
использовать математические методы для исследований на рынке, чтобы
прогнозировать его поведение, отслеживать стоимость акций.
В старшей школе, где изучаются трансцендентные функции, сначала по виду
уравнения, которым задана функция, исследуются ее свойства, а затем строится
график. То есть, если раньше учили строить график функции по точкам, то
теперь нужно строить график функции, опираясь только на свойства функций.
Суть исследования функции заключается в умении определить поведение
функции в конкретной точке, в умении отличить значение функции в
рассматриваемой точке от значений ее в соседних точках. Необходимо уметь
исследовать функцию в целом, то есть найти ее область определения;
определить, является ли функция четной, периодической, найти области ее
монотонности и т.д.
Если же функция определена на бесконечном множестве, то надо уметь
исследовать поведение ее в бесконечности и возможность приближения ее
к асимптоте при стремлении аргумента в бесконечность.
Заключительным этапом исследования функции является построение ее
графика, т.е. умение грамотно перенести все исследуемые моменты на чертеж.
Объект исследования: графики дробно-рациональных функций.
Предмет исследования: свойства дробно–рациональной функции в построении
ее графика.
Цель исследования: систематизация теоретического материала пределов и
непрерывности функций и его применение при построении заданной дробной
функции.
Глава 1
ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
1.1. Понятие дробно-рациональной функции, основные свойства
Определение. Пусть P(x), Q(x) – полиномы переменной x. Тогда выражение
называется дробно-рациональной функцией переменной x (или, короче,
рациональной функцией).
Опишем основные свойства дробно-рациональных функций.
Множество существующих действительных значений аргумента x (переменной
x), при которых функция определена, является областью определения функции.
Функция дробного вида определена в тех точках числовой оси, в которых
знаменатель не обращается в ноль. Это множество всех действительных
значений y, которые принимает функция , называется областью значений
функции.
3
Значение аргумента, при котором значение функции равно нулю, называют
нулями функции. И для дробно-рациональной функции вида , нули функции.
будут корнями уравнения , но при этом в этих точках .
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное
число M, что выполняется неравенство вида |f(x)| ≤ M для всех значений x. Если
такого числа не существует, то функция в этом случае неограниченная.
Функция называется периодической, если найдется такое число , что для
любого значения x из области определения функции числа и также входят в
область определения и при этом выполнено равенство: . Главным периодом
(или просто периодом) принято называть положительное наименьшее число Т,
являющееся периодом функции.
Функция, которая меняется без «скачков», то есть такая, у которой малые
изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции,
называется непрерывной. Графиком непрерывной функции будет непрерывная
линия.
Конкретизируем некоторые свойства:
1. Данные функции определены при всех x, отличных от нулей знаменателя, и
являются в этой области определения бесконечно-дифференцируемыми
функциями.
2. Сложение и умножение для конечного числа дробно-рациональных функций
будет снова дробно-рациональной функцией.
3. Если от дробно-рациональной функции найти производную любого порядка,
то результатом является дробно-рациональная функция.
4. Если R(x), S(t) – дробно-рациональные функции переменных x и t
соответственно, то S(R(x)) является дробно-рациональной функцией
переменной x, т.е. суперпозиция дробно-рациональных функций является
дробно-рациональной функцией:.
Определение. Дробно-рациональная функция , где , – многочлены
переменной x, называется правильной, если , т.е. степень полинома меньше
степени полинома . Если ), дробно-рациональная функция называется
неправильной.
Теорема. Любую дробно-рациональную функцию можно представить в виде
суммы полинома и правильной дробно-рациональной функции: , . Полином
называется целой частью дробно-рациональной функции .
Рациональная функция – это функция, полученная в результате
арифметических операций (сложения, умножения и деления) над конечным
числом переменных х и произвольными числами, имеющая вид:
, (1)
где и , при чем a0 , b0 – постоянные, a n и m — неотрицательные целые
числа. Дробная функция определена и непрерывна во всех значениях х, за
исключением тех, которые будут корнями знаменателя . Многочлен является
частным случаем рациональной функции (при m = 0), поэтому многочлены
4
иногда называются целыми. Любая рациональная функция – есть отношение
двух многочленов.
Корень кратность, которого k для знаменателя Q (x) и одновременно корень
кратности r (r > k) для числителя , то имеет в точке устранимый разрыв;
если же r < k, то имеет в