Двойной и повторный пределы, как связано их существование, что из чего следует. Построить примеры, когда есть оба повторных предела, но нет двойного.

Введение

Двойные пределы и тесно связанные с ними повторные пределы лежат в основе вычисления двойных интегралов, которые используются:
- в геометрии для вычисления площади ограниченной замкнутой области D в плоскости Oxy, объёмов цилиндрических тел, ограниченных снизу областью D, а сверху поверхностью z=f(x,y), площади проекции области D на плоскость Oxy.
- в физике, для вычисления массы пластины, статистических моментов пластины относительно осей Ox и Oy, координат центра тяжести, моментов инерции пластины относительно осей Ox и Oy и начала координат.
- в экономике для вычисления урожая на площади D при знании функции урожайности.
Актуальность курсовой работы определяется ключевой ролью двойных и повторных пределов в вычислении двойных интегралов.
Цель исследования – описать понятия двойных и повторных пределов и методов их вычисления.
Задачи исследования
- Дать определение функции двух действительных переменных;
- Указать основные понятия предела функции двух переменных в данной точке по Коши и по Гейне и доказать их эквивалентность;
- Описать понятия двойных и повторных пределов и указать их возможные взаимосвязи;
- сформулировать основные теоремы описывавшие арифметические свойства функций, имеющих конечный предел;
- Описать различные приёмы вычисления пределов функций, такие, как:
- разложение на множители,
- замена переменой,
- использование свойств бесконечно малых,
- использование замечательных пределов,
- введение полярных координат
Объектом исследования является теория двойных и повторных пределов
Предмет исследования – двойные и повторные пределы
Методами исследования являются анализ имеющейся учебной литературы и классические методы математического анализа.
В работе введение, две главы, одна из которых посвящена теории, а другая – описанию основных приёмов вычисления двойных пределов, заключение и список используемых источников.
Глава 1 Теоретические сведения о двойных и повторных пределах функций двух переменных

1. Понятие функции двух действительных переменных

Пусть D  некоторое множество из пространства R2 ={(x, y)| x, y∈R}.
Определение 1. Функцией f, определенной на множестве D и принимающей действительные значения, называется правило, при котором каждому элементу (x, y) из множества D соответствует одно и только одно число zR, в обозначении z  f (x, y), f :D R.
Это определение согласуется с определением функции одного действительного переменного и понятие функции нескольких действительных переменных формулируется подобным образом.
Теория таких функций строится аналогично теории функций одного действительного переменного.
Графически любую функцию двух действительных переменных можно представить в виде некоторой поверхности, состоящей из точек с координатами (x, y, z) в трёхмерной системе координат Oxyz.
Основным способом задания функции z  f (x, y) является аналитический способ, когда функциональная зависимость задаётся некоторой формулой. В таком случае множество D (область определения функции) совпадает с областью существования формулы.