Приложения производных функции нескольких переменных

Введение
В основе решения различных задач прежде всего лежит математическая модель. Именно математические модели содержат в себе уравнения, неравенства вместе с переменными и параметрами, над которыми и производятся различного рода математические операции. Уравнения и неравенства, как способ описания или отождествления различных процессов, может содержать необязательно одно неизвестное или один параметр. Данный фактор определяется, прежде всего, размерностью задачи. Причем, параметры и переменные математической модели далеко не всегда равноправны. То есть некоторые величины вносят существенный вклад в поведение модели и оказывает наиболее существенное воздействие на результат моделирования, другие же могут оказывать влияние на уровне погрешностей. В таких случаях уместно говорить о предельных переходах.
При этом различным математическим уравнениям, неравенствам можно ставить в соответствие и графическую интерпретацию. Фактически, поиск корней уравнения или неравенства сводится к нахождению искомых значений неизвестных x_1,x_2,…,x_n при заданных параметрах a_1,a_2,…,a_n,a_(n+1) для которых это уравнение/неравенство является истиной. Если же изобразить некую числовую плоскость и нанести на нее различные значения переменных x_i, то для данного значения переменной искомое уравнение или неравенство будет принимать какое-либо значение. При этом если же некоторое значение переменной x_i является корнем, выражение становится истинным. Нетрудно понять, что понятие "плоскость" легко трансформируется в понятие "пространство", подразумевая, что числовое соответствие может быть представлено 2D и 3D области.
При приобретении конкретной практической применимости эти понятия приобретают название система координат. На сегодняшний день известно множество систем координат, и наиболее употребимые: цилиндрическая, сферическая, реже тороидальная, но, пожалуй, самая используемая прямоугольная или декартовая. Причем пространство R^2 называется евклидовой плоскостью, а R^3 называется евклидовым пространством [1, стр. 214].
Все системы координат равноправны, но удобней вести рассуждения в рамках плоской (2D), если речь идет о функции одной переменной, прямоугольной системы координат, где вводятся простые понятия осей координат, которые являются взаимно перпендикулярными. То есть одна из осей направлена по горизонтали (пусть название данной оси x), а другая направлена вертикально (пусть название данной оси y).
При этом ось x будем называть осью абсцисс, а ось y – осью ординат. Зависимость значений y на соответствующей оси ординат от значений x на соответствующей оси абсцисс будем называть функцией (или функциональной зависимостью), если каждому значению x соответствует одно значение y [2, стр. 194]. В таком случае все множество значений x (аргументов) для данной функции называют областью определения функции, а соответствующие значения y называют областью значений функции [2, стр. 194].
При этом, если речь идет о функции многих переменных, то логично рассуждать о многомерном пространстве, размерность которой определяется количеством переменных. Ясно, что размерность выше трехмерного человеку представить сложно, поэтому дальнейшие рассуждения предполагается вести относительно 3D-пространства, для которого характерны 3 переменные: независимые переменные x,y и зависимая переменная z=f(x,y).
Целью данного исследования является определение основных прикладных и теоретических областей применимости функции нескольких переменных.
 
Теоретическая часть
Понятие функции нескольких переменных
Понятие функция в математике означает взаимно обратное соответствие между множествами. Функция подразумевает наличие независимой переменной (пусть будет переменная x), а также зависимой переменной (пусть будет переменная y). Закон, по которому определяется соответствие между зависимой и независимой переменной называется функциональной зависимостью и математически может быть представлена в виде выражения:
y=f(x)
Однако зависимых переменных, оказывающих влияние на независимую переменную, может быть сколь угодно много. В таких случаях говорят о функции нескольких переменных. И тогда:
y=f(x_1,x_2,…,x_n )
Функция y∈E (определенная вещественным множеством чисел) n переменных относит к упорядоченному множеству значений переменных x_1,x_2,…,x_n∈D (также определенная вещественным множеством чисел). Областью определения функции n переменных (то есть областью возможных для этой функции значений аргумента) называется множество D=D(f), а множество E=E(f) называется областью значения этой функции [2, стр. 194].
В дальнейшем, не умаляя общности будет подразумеваться рассмотрение функции двух переменных (ФДП). И тогда искомая функциональная зависимость будет определяться как:
z=f(x,y),
где z – функция двух переменных, а x,y – независимые переменные (аргументы) данной функции.
В большинстве приложений переменные x,y или x_1,x_2,…,x_n,y обозначают физические объекты или величины, так что соответствующие соотношения описывают физические закономерности [3, стр. 98-99]. Например, y=x_1 x_2, если x_1,x_2 и y соответственно означают напряжений, силу тока и мощность в простом электрическом контуре.
Множество Г={(x,y,z)∈R^3; (x,y)∈D,z=f(x,y)} называется графиком функции многих (двух) переменных z=f(x,y).
То есть график функции z=f(x,y) геометрически является некоторую поверхностью в 3D-пространстве R^3. На рисунке показан пример трехмерной поверхности, которая определяется зависимостью z=√(1-x^2-y^2 ) (определенной в D={(x,y);x^2+y^2≤1}.

Рисунок 1.1. Пример графика функции двух переменных z=√(1-x^2-y^2 )

Графиком этой функции в пространстве декартовых координат является сфера единичного радиуса.
Предел и непрерывность функции нескольких переменных
Определение предела функции может быть записано в двух основных формулировках [1, стр. 222], [2, стр. 198].
Формулировка 1: Число A – это предел ФДП z=f(x,y) в некоторой точке M_0 (x_0,y_0 ), если для ∀ последовательности {M_n (x_n,y_n )}_(n=1)^∞, которая сходится к точке M_0 (x_0,y_0 ), соответствующая последовательность {f(x_n,y_n )}_(n=1)^∞ значений этой функции сходится к искомому числу A.
Другими словами, из n→∞: M_n→M_0, следует, что
f(x_n,y_n )→A.
В данном случае принята запись:
lim┬█(x→x_0@y→y_0 )⁡f(x,y)=A
Формулировка 2: Число A называется пределом ФДП z=f(x,y) в точке M_0 (x_0,y_0 ), если для ∀ ε>0 ∃ δ(ε)>0: ∀ x и y, которые удовлетворяют неравенству
0< √((x-x_0 )^2+(y-y_0 )^2 )<δ,
выполняется следующее условие:
|f(x,y)-A|<ε.
Здесь искомая точка M(x,y) принадлежит δ-окрестности точки M_0 (x_0,y_0 ) и не совпадает с ней.
Координаты точки M(x,y) могут быть представлены в виде x=x_0+∆x, y=y_0+∆y. В таком случае предел можно записать в виде:
lim┬█(x→x_0@y→y_0 )⁡f(x_0+∆x,y_0+∆y)=A
Подобным же образом формулируется понятие предела функции при стремлении точки к бесконечности [2, стр. 194].
При этом, если существует предел функции двух переменных в точке M_0 (x_0,y_0 ) и равен значению z_0 (x_0,y_0 ), то данная функция называется непрерывной в данной точке, и справедливо равенство: