Особенности изучения младшими школьниками си- стем счисления, отличными от десятичной.

Глава I. Состояние проблемы изучения систем счисления, отличных от десятичной в начальной школе

1.1 Методика формирования вычислительных навыков сложения и вычитания в различных системах счисления у обучающихся начальной школы

Проблемой формирования вычислительных навыков и умений у учащихся начальных классов занимались в разное время многочисленные методисты и практики, такие как Е.С. Дубинчук, А.А. Столяр, С.С. Минаева, Н.Л. Стефанова, Ю.Ф. Чекмарева, М.А. Бантова, М.И. Моро, Н.Б. Истомина, С.Е. Царева и др.
Вычислительный навык – это высокий уровень развития вычислительных приемов. В целом, можно сказать, что под вычислительным навыком понимается «автоматический вычислительный прием» [3, с. 85]. Важно также ввести и понятие «вычислительный прием», при котором понимается комплекс математических операций, апробация которых приведет к результату.
Исследователь М.А. Бантова отмечает, что «формирование вычислительных навыков у младших школьников возможно только при условии, что последний будет знать, какие действия и в каком порядке необходимо выполнять при математическом действии» [2, с. 39].
Полноценные вычислительные навыки учащихся характеризуются следующими показателями: правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом и прочностью [8].
Правильность - учащийся правильно находит результат арифметического действия над заданными числами, правильно выбирают и выполняют операции, составляющие прием.
Осознанность - обучающийся знает, какие операции выбираются и в каком порядке. Осознанность демонстрируется способностью учащегося объяснить, как он решил задачу и почему он смог решить ее таким образом. В процессе освоения навыка интерпретацию следует постепенно сокращать.
Рациональность – это способность учащихся выбирать рациональный подход к ситуации исходя из конкретных обстоятельств. Рациональность напрямую связана с умением.
Обобщение - учащийся может применять технику счета во многих ситуациях, то есть переносить технику счета на новые ситуации.
Автоматизм - учащийся быстро выбирает и выполняет операции, но может вернуться к объяснению выбора операционной системы.
Прочность - это когда учащийся сохраняет и апробирует числовые навыки, которые он развил в течение длительного периода времени.
Формирование у учащихся вычислительных навыков означает следующим требованиям: нахождение числового значения какого-либо выражения, определение того, какие операции необходимо выполнить и в какой последовательности, то есть определение порядка выполнения операций для каждого случая [10].
Основным понятием в курсе начального обучения математики в части изучения натуральных чисел является понятие «концепт», под которым понимается область рассматриваемых чисел, которые выделены по общему признаку.
Система счисления - это математический концепт, который предоставляет способ представления чисел, основанный на определенных правилах и символах.
Рассмотрим характерные особенности государственного стандарта по математике в начальной школе. Основным ее содержанием являются целые числа и действия над ними, изучаемые в определенной последовательности. Вначале изучаются четыре действия в пределе 10 и 20, затем – устные вычисления в пределе 100, устные и письменные вычисления в пределе 1000 и, наконец, в пределе миллионов и миллиардов. В IV классе изучаются некоторые зависимости между данными и результатами арифметических действий, а также простейшие дроби. Наряду с этим программа предполагает изучение метрических мер и мер времени, овладение умением пользоваться ими для измерения, знание некоторых элементов наглядной геометрии – вычерчивание прямоугольника и квадрата, измерение отрезков, площадей прямоугольника и квадрата, вычисление объемов.
Натуральные числа в начальной школе изучаются с помощью концептов. Только в учебниках Н. Б. Истоминой выделяются не концентры, а темы: «Однозначные числа», «Двузначные числа» и другие, что способствует пониманию детьми различий между числом и цифрой [13].
Концентр – это область рассматриваемых чисел, имеющая общие признаки. В начальном курсе математики выделяются следующие концентры: десяток, сотня (2 этапа - от 11 до 20; от 21 до 100); тысяча и многозначные числа [9].
В концепте «Сотня» учат счету, сложению, вычитанию, умножению и делению, что помогает учащимся разбить их на отдельные понятия:
- ознакомление с новой счетной единицей;
- устное приобретение и письменные расчеты на основе особенностей арифметических операций, связей между их составляющими и результатами;
- изучить таблицы сложения и умножения и соответствующие случаи обратных действий - вычитания и деления;
- продолжать работать над простыми задачами и вводить сложные задачи [18], [19].
Нумерация – это техника написания чисел с помощью символов. В концепции «Сотня» нумерация изучается в два этапа:
1) устная нумерация (способ обозначения каждого натурального числа определенными словами);
2) письменная нумерация (способ записи каждого натурального числа с помощью некоторого знака) [16].
Устная нумерация учитывает следующие вопросы:
- введение новой единицы измерения и использование ее для счета предметов,
- введение новых названий категорий,
- дополнительно учитывать количество единиц разного номера
- составлять и сравнивать последовательности чисел,
- установление связи с единицами измерения.
Письменная нумерация обучает чтению и написанию чисел, представлению числа в виде суммы членов, а также обучению сложению и вычитанию на основе записи нумерации.
По мнению, С. Н. Лысенко, в результате обучения счету до 100 младшие школьники приобретут следующие знания, навыки и умения:
- «сосчитать предметов в пределах ста и усвоить знания, названия чисел;
- выучить порядок чисел при счете, использовать ведущую и конечную нумерацию;
- сравнивать числа в натуральном порядке;
- читать и писать числа до 100» [4, с. 80].
В настоящее время в некоторых экспериментальных курсах начальной математики сделаны попытки преодолеть проблему чёткого понимания и усвоения понятия самого числа, так же способов и форм его обозначения. Отмеченные недостатки традиционного обучения, ограниченные изучением только десятичного обозначения чисел, наиболее полно представлены в программах и учебниках, разработанных на основе концепции развивающего обучения В.В. Давыдова [2, с. 27].
В методической системе Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова существует три программы по математике. Основным содержанием курсов математики В.В. Давыдова и Э.И. Александровой является понятие действительного числа, а в курсе A.M. Захаровой и Т.М. Фещенко – понятие рационального числа. «Генетически исходным отношением, порождающим все виды ... числа, является отношение величин, получаемое в результате измерения, т.е. сквозным действием» во всех курсах A.M. Захаровой и Э.И. Александровой. [3, с.38].
Названные курсы наряду с указанными общими чертами при изучении строения позиционных систем счисления имеют и свои особенности. Так в учебных пособиях В.В. Давыдова и Э.И. Александровой выделены два раздела – «Система мерок» («Набор и система мерок») и «Позиционные системы счисления. Многозначные числа» («Позиционные системы счисления»). В учебном пособии A.M. Захаровой и Т.М. Фещенко эти разделы объединены в один – «Многоразрядное (позиционное, многозначное) число». У Э.И. Александровой выделен еще и третий раздел – «Десятичная система счисления как частный случай позиционной системы счисления» [1,6,7].
Основной общей чертой изучения различных позиционных систем счисления в курсах по подходу В.В. Давыдова является то, что число получено как результат измерения заданной величины с помощью другой с ней однородной, называемой единицей величины.
Развитие вычислительных навыков у учащихся происходит постепенно. На рис. 1 показаны этапы формирования вычислительных навыков у обучающихся.