Математический анализ. Квадратичные уравнения и неравенства с параметрами

Если x и y рассматривать как декартовы координаты на плоскости, то действительная функция y=f(x) действительного переменного x часто изображается кривой (графиком функции y от x).
Функция может быть определена таблицей своих значений или правилом вычисления такой таблицы с помощью известных операций (конструктивные определения). Функция может быть определена неявно или с помощью определяющих свойств, описываемых функциональными, дифференциальными или интегральными уравнениями, экстремальными свойствами, поведением при некоторых значениях аргумента и т.д. Каждое неконструктивное определение нуждается в доказательстве существования, устанавливающем, что функция, обладающая указанными свойствами, существует.
В данном случае речь идет о квадратичных уравнениях и неравенствах, а, стало быть, и о соответствующих функциональных зависимостях. Понятие функции здесь затронуто не зря, так как в том числе благодаря данному математическому аппарату будет осуществляться решение задач.
В таком случае уместно поговорить о виде квадратного уравнения и некоторых его свойствах.
Квадратное уравнение может быть записано в виде квадратного трехчлена:
f(x)=ax^2+bx+c,a≠0,
где x – неизвестная переменная (либо корень уравнения), a,b,c – параметры уравнения.
Примечательно, что задано условие a≠0, в противном случае квадратное уравнение вырождается в линейное. При этом данный вид уравнения является полным, в то время как существуют частные случаи неполного квадратного уравнения, когда b=0 или c=0, или b=c=0:
{█(ax^2+bx=0,если c=0@ax^2+c=0,если b=0@ax^2=0,если b=0 и c=0).┤
Известно, что квадратное уравнение в общем случае имеет два корня. В первом случае неполного квадратного уравнения первый корень очевиден и равен нулю, в то время как второй корень определяется соотношением входящих в него параметров:
ax^2+bx=0
x(ax+b)=0
x_1=0,x_2=-b/a
Как видно, в данном случае не существует каких-либо ограничений на значения параметров уравнения.
Во втором случае неполного квадратного уравнения будет одинаковые по модулю, но противоположные по знаку корни.:
ax^2+c=0
x_1,2=±√(-c/a)
Как видно, сюда напрашивается естественное условие неотрицательности подкоренного выражения. Поэтому здесь уже уместно говорить об области наплоскости параметров, удовлетворяющей решению данного уравнения.
Третий случай, как и первый, не представляет интереса в силу очевидности нулевого кратного корня. Фактически это парабола с максимумом или минимумов (в зависимости от знака параметра a) в нуле.
ax^2=0
x_1,2=0
Наконец наиболее общим типом квадратного уравнения является полное квадратное уравнение и неравенство. Известно, что для существования корней уравнения необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным.
Если дискриминант D=b^2-4ac>0, то существует два различных вещественных корня;
В таком случае корни уравнения находятся по формуле:
x_1,2=(-b±√D)/2a
Если дискриминант D=b^2-4ac=0, то существует два одинаковых корня (кратный корень);
В таком случае корни уравнения находятся по формуле:
x_1,2=(-b)/2a
Если дискриминант D=b^2-4ac<0, то корней в вещественном поле чисел не существует;
Также ясно, что параметризованным может быть число перед любой степенью уравнения, то есть либо a, либо b, либо c, либо их комбинации.
Отсюда становится еще более интересным наблюдение о всевозможных значениях параметров a,b и c. Тогда речь идет уже не об области в плоскости параметров, а о трехмерном пространстве с осями a,b и c.
Применительно к неравенствам данная логика также употребима с той лишь разницей, что на первом этапе нужно понять, сочетание каких параметров дает по меньшей мере один вещественный корень, а на втором этапе понять, насколько данный корень (или пара корней) удовлетворяет заданному неравенству.
Таким образом, в рамках решения практических задач предлагается следующая классификация примеров:
Неполное квадратное уравнение с одним параметром;
Неполное квадратное уравнение с двумя параметрами;
Полное квадратное уравнение с одним параметром;
Решение квадратных уравнений с одним параметром с помощью теоремы Виета;
Полное квадратное уравнение с двумя параметрами;
Полное квадратное уравнение с тремя параметрами;
Полное квадратное неравенство с одним параметром;
Квадратное неравенство с параметром, содержащее модуль. 
Решение практических задач
Неполное квадратное уравнение с одним параметром
Пример 1: определить допустимые значения параметра c, при котором неполное квадратное уравнение имеет два вещественных корня:
5x^2+c=0
Решение: очевидно, корнями данного уравнения является равенство:
x_1,2=±√(-c/5)
При этом если накладывается ограничение на то, что не должно содержаться кратных корней, то c≠0, так как в противном случае будет x_1,2=0.
Также подкоренное выражение не должно быть отрицательным, тогда:
-c/5>0
И тогда:
c<0
То есть для существования двух вещественных корней, необходимо, чтобы значение параметра лежало в диапазоне c∈(-∞,0). На рисунке 1 показана функциональная зависимость f(x)=5x^2+c при различных значениях параметра c.

Рисунок 1. График функции f(x)=5x^2+c при различных значениях параметра c
Из представленных зависимостей видно, что, действительно, парабола пересекает ось аргумента при значениях c<0, причем при c=0 получается кратный нулевой корень.
Ответ: допустимые значения параметра лежат в диапазоне c∈(-∞,0).

Пример 2: определить допустимые значения параметра a, при котором неполное квадратное уравнение имеет вещественные корни:
(a-2) x^2-30=0
Решение: очевидно, корнями данного уравнения является равенство:
x_1,2=±√(30/(a-2))
Стоит заметить, что в данной задаче нет ограничения на то, что не должно содержаться кратных корней, однако видно, что при a=2 получатся бесконечные корни, а в самом уравнении получится неопределенность вида 0∙∞, поэтому имеет смысл отбросить данное значение параметра, то есть a≠2. При этом по-прежнему подкоренное выражение не должно быть отрицательным, тогда:
30/(a-2)>0
И тогда:
a>2
То есть для существования двух вещественных корней, необходимо, чтобы значение параметра лежало в диапазоне a∈(2,+∞). На рисунке 2 показана функциональная зависимость f(x)=(a-2) x^2-30 при различных значениях параметра a.

Рисунок 2. График функции f(x)=(a-2) x^2-30 при различных значениях параметра a

Из представленных зависимостей видно, что, действительно, парабола пересекает ось аргумента при значениях a>2, причем кратный корень получается при стремлении a→+∞.
Ответ: допустимые значения параметра лежат в диапазоне a∈(2,+∞).