Бесконечные произведения

Введение

В данной работе рассматривается понятие бесконечного произведения, близко примыкающего к понятию числового ряда. В связи с этим, нами приводится, прежде всего, понятие бесконечного ряда, анализируются его основные характеристики и положения, а далее, приводятся основные определения и утверждения по понятию бесконечного произведения, включая вопросы абсолютной и условной сходимости.
Также в работе приводятся примеры по бесконечному произведению вещественных и комплексных чисел, а также, приводятся примеры разложения синуса и косинуса в бесконечные произведения.

 
Глава 1 Основные определения и утверждения
1.1. Бесконечные ряды и их свойства

Если задана определенная последовательность чисел {a_n }, то бесконечную сумму вида
∑_(n=1)^∞▒〖a_n= a_1+a_2+⋯+ a_n+⋯〗 (1)
будут называть бесконечным рядом, числовым рядом, либо просто рядом.
Отдельные слагаемые ряда будут называться членами ряда [1, стр.7].
При этом имеет место определение частичных сумм ряда, которое представляет собой формулу:
∑_(n=1)^n▒〖a_n= a_1+a_2+⋯+ a_n=S_n,〗 (2)
Где n-частичной суммой ряда будет называться величина Sn.
Определение сходимости и расходимости ряда:
Ряд (1) будет называться сходящимся, в случае если будет сходиться последовательность частичных сумм {S_n } этого ряда. Предел S последовательности {S_n } в этом случае будет представлять собой сумму ряда (1).
В связи с этим формально может быть записано равенство:
S= ∑_(n=1)^∞▒a_n (3)
Если же предела последовательности частичных сумм (2) для данного (1) ряда не существует, то ряд (1) будет называться расходящимся.
Вопросом, относящимся к самым главным в теории числовых рядов, является выявление признаков ряда, указывающих на его расходимость или сходимость, так как, в отличии от расходящихся рядов, сходящиеся имеют предел и позволяют проводить дальнейший анализ, не прибегая к обобщениям, как в случае с расходящимися рядами.
Простыми свойствами некоего ряда, которые связаны с его сходимостью являются следующие:
Отбросив конечное число членов ряда, как и добавив конечное число членов ряда, сходимость или расходимость ряда не изменится.
Если с – это некоторая постоянная, которая отлична от нуля, а a_n^'=c* a_n , то ряд ∑_(n=1)^∞▒a_n^' сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд ∑_(n=1)^∞▒a_n^ .
Из данных двух свойств следует переход к критерию Коши, которые гласит, что для сходимости последовательности {S_n } необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа ɛ нашелся бы номер N такой, чтобы для всех номеров n , удовлетворяющих условию n≥N, и для всех натуральных p (p = 1, 2, 3..)
|S_(n+p)-S_n |<ɛ (4)
Из данного критерия вытекает теорема Коши (критерий Коши для ряда) [1, стр. 10], из следствия к которой вытекает важное необходимое условие сходимости ряда:
Для сходимости ряда ∑_(n=1)^∞▒a_n необходимо, чтобы lim┬(n→∞)⁡〖a_n=0〗.
Таким образом, исследуя сходимость некоего ряда, нужно определить стремится ли к нулю n-й член этого ряда при n →∞. В случае, если этого нет, то ряд расходящийся.
Отметим также, что существуют понятия абсолютной и условной сходимости.
Определение: Бесконечный ряд
∑_(n=1)^∞▒a_n (5)
Будет называться абсолютно сходящимся, если сходится ряд
∑_(n=1)^∞▒|a_n | (6)
Далее, используя критерий Коши для ряда, можно доказать теорему, гласящую: из сходимости ряда (6) вытекает сходимость ряда (5)
В свою очередь, ряд (5) называется условно сходящимся в том случае, если несмотря на то, что ряд (6) расходится.
Отметим, что в целом рассмотренные признаки сходимости рассматривались для рядов с неотрицательными членами. Однако их можно применить и к членам ряда любого знака.
Также отметим, что помимо признака сходимости Коши, находят применение признаки сходимости [1, стр. 35] Даламбера, Раабе и интегральный признаки сходимости. Все они применяются для определения абсолютной сходимости ряда, но ни один из них не позволяет выяснить сходится ли ряд условно.
Данные определения и утверждения помогут в дальнейшем анализе бесконечных произведений, которым посвящена данная работа.

1.2. Бесконечные произведения и их свойства

Аналитическое выражение, которое имеет вид произведения бесконечного множества сомножителей, называется бесконечным произведением.
Определение по [2, стр.351]: если
p_1.p_2.p_3……p_n….. (7)
- это некоторая заданная последовательность вещественных или комплексных чисел, то
p_1.p_2.p_3……p_n…..= ∏_(n=1)^∞▒p_n (8)
будет называться бесконечным произведением.
По аналогии с бесконечными суммами из ранее рассмотренных бесконечных рядов, здесь имеют место частичные произведения.
При последовательном перемножении чисел из (7), получим частичные произведения в виде:
P1 = p1, P2 = p1 ∙p2, P3 = p1∙p2∙p3
Pn = p1∙p2∙p3…. ∙pn, ….. (9)
Значением произведения (8) будет предел Р частичного произведения Pn при n →∞ (конечный или бес