Формирование умения решать решать геометрические задачи методом дополнительного построения в курсе геометрии 7-9 классов

Глава 1. Теоретические основы методики обучения школьников приему дополнительного построения в процессе изучения геометрии
1.1. Характеристика приема дополнительного построения

Приемы дополнительного построения, которые применяются при решении геометрических задач, можно разделить на два типа – это расщепление фигур и сложение.
Разбиение фигур:
- рисование прямой линии, параллельной одной из имеющихся (или параллельных линий) в многоугольнике, что позволяет применить сходство;
- разбиение фигуры на части с целью получения треугольника и параллелограмма (в том числе ромба, квадрата), что позволяет применить свойства этих фигур;
- рисование перпендикуляров, радиусов окружностей к точкам касания. Высоты в трапеции позволяют получить прямоугольные треугольники.
Добавление рисунков:
- построение параллелограмма путем продления медианы треугольника, что позволяет применить свойства параллелограмма;
- построение дополнительного треугольника;
- построение вспомогательной окружности с целью применения свойств углов, хорд, касательных, связанных с окружностью.
Дополнительные конструкции встречаются на протяжении всего курса планиметрии с 7 по 9 классы. В учебнике геометрии Л.С. У Атанасяна есть задачи-теоремы, при решении и доказательстве которых используются различные дополнительные конструкции, например, в темах: «Треугольники», «Параллельные прямые», «Отношения между сторонами и углами треугольника», «Четырехугольники», «Площадь», «Подобные треугольники», «Круг».
В 7 классе вводится метод дополнительного построения при изучении темы «Свойства равнобедренного треугольника», при доказательстве признаков параллельности прямых и теорем, обратных к этим теоремам. В 8 классе при изучении темы «Четырехугольники», «Квадраты», «Теорема Пифагора» учащиеся могут ознакомиться с удвоением медианы треугольника с последующим завершением треугольника до параллелограмма, а также рассмотреть стандартные дополнительные построения в трапеции. проблемы.
При изучении планиметрии в 7-8 классах особое внимание следует уделить построению отрезков (соединению отрезком любых точек, лежащих на сторонах многоугольника, построению высот треугольника или четырехугольника, радиусов или хорд окружности, диагоналей многоугольника, продолжения отрезков до взаимного пересечения друг с другом и др.), при доказательстве теоремы о сумме углов треугольника, неравенства треугольника. В то же время у учащихся нет общего представления о видах дополнительных построений при решении геометрических задач, а в учебниках отсутствует систематизация видов дополнительных построений.
Вот некоторая квалификация дополнительных построений.
1. Выбор элементов рисунка или фрагментарный рисунок. Цель: более детальное рассмотрение необходимой части чертежа.
2. Построение вспомогательной окружности, описанной вблизи многоугольника. Цель: получить вписанные, центральные углы, основанные на одинаковых или равных дугах.
3. Построение сторон трапеции до их подавления. Цель: получить треугольник и использовать его свойства, используя чудесное свойство трапеции.
4. Удвоение медианы. Цель: получить параллелограмм и использовать его свойства.
5. Построение дополнительных линий в треугольниках и многоугольниках, пересекающих их стороны или вершины, в частности, высоты, медианы, биссектрисы. Цель:
1) получить равные или подобные треугольники,
2) получить углы с параллельными или перпендикулярными сторонами соответственно,
3) перенести соотношение длин отрезков с одной стороны угла на другую.
6. Рисование дополнительных линий в окружностях, в частности радиусов, диаметров, хорд, секущих, касательных. Цель:
1) получение вписанных и центральных углов,
2) получение углов между касательной и хордой,
3) использование теоремы о тангенсе и секущем.
Решение таких задач вызывает множество трудностей у учащихся. Считаем, что проблема поиска решения геометрических задач на дополнительные построения связана с необходимостью:
– строить и читать чертеж;
– анализировать заданную в условии геометрическую конфигурацию;
– устанавливать недостаточность фигуры на чертеже;
– проводить дополнительные построения;
– повторно анализировать новую геометрическую конфигурацию;
– осуществлять поиск решения.
Такие задачи являются эффективным средством развития у учащихся умения преобразовывать чертеж и работать с ним (под умением преобразовывать чертеж понимается владение приемом дополнительного построения). Для наработки указанного умения необходимо сформировать ряд приемов.

1.2. Использование задач, решаемых с помощью дополнительных построений, и значение приема дополнительного построения в учебниках геометрии 7-9 классов

Проанализируем место использования задач, решаемых с помощью дополнительных построений, и значение приема дополнительного построения в учебниках геометрии:
• Л.С. Атанасян и др. «Геометрия 7-9», 2001 г., (1);
• А.Д Александров и др. «Геометрия 7-9», 1995 г., (2);
• А.П. Киселев «Геометрия: Планиметрия: 7-9», 1995 г. (З)6;
• И.Ф. Шарыгин «Геометрия 7-9», 1999 г., (4).
В дальнейшем будем использовать следующие названия учебников: учебник (1), учебник (2), учебник (3), учебник (4).
Указанные учебники являются представителями трех поколений и были выбраны для сравнительной характеристики. Отметим, что учебник (1) в настоящее время используется в школах Карелии.
Во всех учебниках теоремы и задачи, решаемые с помощью дополнительных построений, встречаются на всем протяжении курса 7-8 классов и при изучении различных тем, а именно: «Треугольники», «Параллельные прямые», «Соотношения между сторонами и углами треугольника», «Четырёхугольники», «Площадь», «Подобные треугольники», «Окружность».