Приложение векторной алгебры при решении практико-ориентированных задач

Одним из фундаментальных понятий современной математики является вектор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике. Векторная алгебра является одним из разделов векторного исчисления. В нём важную роль играют операции над векторами, которые в общем случае являются операциями более высокого порядка по сравнению с операциями над числами. Те из физических величин, которые при выбранной системе единиц характеризуются одним числом, называются скалярными. Например: температура, время, масса, плотность, электрический заряд площадь, объем и т.д. Величины, которые характеризуются не только числом, но и направлением в пространстве, называются векторными величинами, или векторами. Например: сила, скорость, ускорение, напряженность электрического или магнитного поля и т.д. Геометрически векторные величины изображаются с помощью вектора, т.е. отрезка, имеющего две характеристики: направление и длина.
Векторная алгебра является одним из разделов векторного исчисления. В нём важную роль играют операции над векторами, которые в общем случае являются операциями более высокого порядка по сравнению с операциями над числами.
Возникновение векторной алгебры тесно связано с потребностями механики и физики. До 19 века для задания векторов использовали лишь координатный способ. Только в середине 19 века операции стали проводить непосредственно с векторами, без обращения к координатному способу задания.
Напомним, что вектором называется направленный отрезок, т.е. вектор как математический объект определяется двумя характеристиками: длиной и направлением. Задавать эти характеристики можно различными способами. Например, можно определить длину отрезка числом, а направление задать при помощи угла, отсчитываемого от некоторого начала, т.е. в соответствие вектору можно поставить пару чисел , где первое число характеризует длину вектора, а второе – угол поворота относительно некоторой фиксированной оси – исходного направления движения. Если на плоскости (или в пространстве) задана некая система координат, т.е. задано начало координат – точка отсчёта – и две (для плоскости) или три (для пространства) координатных оси, исходящих из общего начала – этой точки, то вектор можно определить задав его начало и конец.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
С векторами, как и со всеми математическими объектами, можно производить различные операции. Определим некоторые из них, которые понадобятся нам для решения поставленных задач, а также поясним их геометрический, физический смысл и некоторые важные свойства.
Длиной (модулем) вектора называется длина отрезка АВ, обозначается . Длину вектора можно рассматривать как расстояние от начальной точки вектора до его конца. Поэтому формула для вычисления длины вектора в координатной форме, при условии, что известны его начало и конец , имеет вид: .
Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым. Будем считать, что нулевой вектор, т.е. такой, что его конец совпадает с началом, другими словами, находятся в одной точке (по сути, нулевой вектор и есть эта точка), не имеет направления.
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается °. Векторы и – коллинеарны, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначаются \\ . Векторы и – равны, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины. Обозначаются = . Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Определим линейные операции над векторами, т.е. сложение, разность и умножение вектора на скаляр. Напомним, что эти операции выполняются покоординатно. Если же векторы заданы не в координатной форме, то можно воспользоваться известными школьными правилами: правилом треугольника или правилом параллелограмма. Умножение вектора на скаляр, т.е. число, подразумевает увеличение (или уменьшение, если скаляр меньше единицы) длины вектора с сохранением направления в случае, если число больше нуля, и с изменением направления на в случае, если константа отрицательна.