Проблема бесконечности в философии и математике

Введение

Актуальность темы. Концепция бесконечности на протяжении многих веков очаровывала философов и математиков: различие между потенциальной и действительной бесконечностью появляется в «Физике» Аристотеля (в его трактовке парадоксов Зенона), и это понятие подразумевалось в попытках отточить метод аппроксимации (начиная еще у Архимеда и продолжаясь в середине века и до девятнадцатого века).
Первые философы античности были также и математиками, что изначально обусловило связь философских и математических концепций понимания бесконечности. Несмотря на многовековые размышления многих философов и математиков на тему бесконечности, до сих пор вопрос формализации взглядов на бесконечность остаётся открытым. В данном реферате исследована история формирования взглядов на проблему бесконечности от античности до настоящего времени, а также философские и математические аспекты проблемы бесконечности.
Конечность связана с умопостигаемостью, актуальностью и совершенством, потому что протяжение в конечной линии связано с ее конечными точками как с формой материи. С другой стороны, линия бесконечна, когда ее продолжение рассматривается как лишенное начальной или конечной точки, и, таким образом, бесконечность указывает на то, что линия в таком состоянии подобна материи без формы. Но форма есть источник познаваемости, актуальности и совершенства. Соответственно, бесконечность связана с состоянием непостижимости, чистой потенциальности и несовершенства. Бесконечная линия, именно как бесконечная, непознаваема, потому что у нее нет определенных измерений, и поэтому ее нельзя измерить или описать. Однако его бесконечность есть лишь потенциальное условие: каждая линия в действительности конечна в силу своей определенной длины, хотя ее можно рассматривать как подверженную бесконечному процессу добавления или деления в силу самой природы количества, подобно тому, как первичная материя может принимать бесконечный ряд субстанциальных форм. Бесконечная линия несовершенна, потому что она рассматривается как лишенная определенных размеров, которые она должна иметь и действительно имеет. За исключением Августина и некоторых других, средневековые мыслители не были готовы иметь дело с бесконечностью любых сущностей, кроме Бога, будь то физические, психологические или чисто абстрактные.
Все их доказательства того, что бесконечность является внутренне противоречивым понятием, были ошибочны, но существовал по крайней мере один интересный парадокс, связанный с бесконечностью, о котором знали средневековые мыслители. Казалось бы, любая линия включает в себя бесконечно много точек. Поскольку длина окружности радиуса два в два раза больше длины окружности окружности радиуса один, то первая должна включать в себя большее бесконечное количество точек, чем вторая
В начале 1600-х годов Галилео Галилей предложил любопытное решение этой проблемы. Галилей предположил, что меньшую длину можно превратить в большую путем добавления бесконечного числа бесконечно малых промежутков. Он прекрасно понимал, что такая процедура приводит к различным трудностям: «Эти трудности реальны, и они не единственные. Но давайте помнить, что мы имеем дело с бесконечными и неделимыми, которые превосходят наше конечное понимание, первое из-за их величины, последние из-за их малости. Несмотря на это, люди не могут удержаться от обсуждения их, даже если это должно быть сделано окольным путем.
Над развитием представлений о бесконечности работали выдающиеся ученые и мыслители. Древние греки Зенон и Аристотель, создатели дифференциального и интегрального исчисления И. Ньютон и Г. Лейбниц, философы Р. Декарт, И. Кант и Г. Гегель, «отец» теории множеств Георг Кантор и многие другие внесли весомый вклад в разработку видения данного понятия, которое сложилось в науке к концу XX века.
Цель работы – рассмотреть развитие представлений о бесконечности в философии и математике, и на их основе выявить проблемы интерпретации бесконечности в философии и математике.
В данной работе вопрос о том, что такое бесконечность, каково содержание, смысл и значение категории бесконечности и многие другие вопросы, связанные с проблемой бесконечности, ее отображения в сознании человека и т.п. решается на основе рассмотрения концепций бесконечности.
Задачи работы: