Кривые, заданные в полярных координатах

Лемниската Бернулли
Лемниската Бернулли — это плоская алгебраическая кривая, которая была впервые изучена Жаком Бернулли в 1694 году. Название "лемниската" происходит от греческого слова, означающего "ленточка". Эта кривая имеет форму "∞" и часто используется в оптике и механике.
Лемниската Бернулли задается в полярных координатах следующим образом:
r^2=a^2cos(2θ),
где a — это положительное число, которое определяет размер кривой. Это уравнение описывает кривую, которая состоит из двух петель, каждая из которых находится в одном из квадрантов координатной системы.
Каждая петля лемнискаты Бернулли является замкнутой кривой, и обе петли симметричны относительно начала координат. В каждой петле есть точка, где r=0, которая соответствует пересечению петли с началом координат.
Вот график лемнискаты Бернулли:

Лемниската Бернулли имеет множество интересных свойств. Например, если вы проведете линию через любую точку кривой и начало координат, эта линия пересечет кривую в точно одной другой точке. Это свойство делает лемнискату Бернулли примером кривой Кассини, семейства кривых, которые имеют это свойство.
Спираль Архимеда
Спираль Архимеда — это кривая, которую впервые описал древнегреческий математик Архимед. Эта кривая представляет собой спираль, которая удаляется от начала координат с увеличением угла θ.
Спираль Архимеда задается в полярных координатах следующим образом:
r=a + bθ,
где a и b — это константы. Константа a определяет расстояние от начала координат до начала спирали, а константа b определяет скорость, с которой спираль удаляется от начала координат.
Спираль Архимеда имеет множество интересных свойств. Одно из них заключается в том, что длина дуги между двумя точками на спирали пропорциональна разности углов, соответствующих этим точкам. Это свойство делает спираль Архимеда полезной при измерении расстояний в радиальных системах координат.
Вот график спирали Архимеда:

Спираль Архимеда имеет множество применений в науке и инженерии. Например, она может быть использована для моделирования движения планет в солнечной системе, винтовых пружин и даже вихревых потоков воздуха и воды.
Роза
Роза — это кривая, которую можно задать в полярных координатах следующим образом:
r = a cos(kθ) или r = a sin(kθ),
где a — это константа, определяющая размер кривой, а k — это целое число, определяющее количество "лепестков" на розе.
Форма кривой зависит от значения k. Если k - четное число, то роза имеет k лепестков. Если k - нечетное число, то роза имеет 2k лепестков. Это свойство делает розы полезными для создания различных геометрических фигур и узоров.
Вот график розы с k = 3:

Розы имеют множество применений в науке и инженерии. Например, они могут быть использованы для моделирования волновых узоров в физике и инженерии, для создания геометрических узоров в дизайне и архитектуре, и даже для анализа музыкальных звуков в акустике.